经典电磁学题答案.doc

1、证明：两无限大平行带电导体板相向两面上的电荷面密度总是大小相等而符号相反；相背两面上的电荷面密度总是大小相等而符号相同。证明： 对于单个无限大带电平面，易得其电场分布为方向与平面垂直 （2分）对于导体板，静电平衡时其内电场为0。则叠加原理，此电场可看作是由各导体板共四个带电平面电场在此处叠加而成如图，设四个面电荷密度分别为、，则在点1处，有 （1） （2分）在点2处，有 （2） （2分）由（1）+（2）可得：即相向两面上的电荷面密度总是大小相等而符号相反。 （1分）由（1）-（2）可得：即相背两面上的电荷面密度总是大小相等而符号相同。 （1分）从而命题得证。2、无限大导体平面上载有均匀电流，面电流密度为i。求空间磁感应强度分布。（10分）解：对称性分析： 由毕奥萨筏尔定律易知： 的方向与电流方向垂直。又因平面无限大，任何一点均可视为中心点，利用叠加原理易得：的方向与平面平行，在平面两侧距离相同的地方，大小相同，方向相反。 （4分）根据以上磁场分布特点，取如图安培回路，回路平面法线方向沿电流方向。电流平面为，电流方向为垂直纸面向外。 （2分）每一长边上各处大小方向相同，皆沿边长方向，短边与垂直。由安培环路定理：有即磁场大小与该点到平面的距离无关，是匀强场。 （4分）3、证明：在无电荷的空间中，电力线是平行直线的地方，电场一定是均强场。证明：(1)先证明在同一电力线上各点电场相等。如图，A、B为同一电力线上任意两点。取一细长圆柱面为高斯面，其轴向沿电力线方向，包围点A、B两点所在电力线。两端面分别过A、B两点，其面积很小，以致端面上的电场可分别用A、B两点处的电场代表。因高斯面内无电荷，且电力线只穿越左右两侧端面，由高斯定理易得： 所以即在同一电力线上各点电场相等。 （5分）(2)再证明在不同电力线上的各点电场也相等。取如图所示安培回路EFDC，由静电场的安培环路定理得：（l为E、F两点间的距离）即 ，不同电力线上的各点电场也相等。 （5分）综上所述可知：在无电荷的空间中，电力线是平行直线的地方，电场一定是匀强场。4、证明：在无电流的空间中，磁力线为平行直线的地方，磁场一定是匀强场。证明：（1）先证明在同一磁力线上各点磁感应强度相等。如图1，A、B为同一磁力线上任意两点。取一细长圆柱面为高斯面，其轴向沿磁力线方向，包围点A、B两点所在磁力线。两端面分别过A、B两点，其面积很小，以致端面上的磁场变化很小，图1可分别用A、B两点处的磁感应强度代表。因为磁力线只穿越左右两侧端面，由高斯定理易得： 所以即在同一磁力线上各点磁感应强度相等。 （5分）（2）再证明在不同磁力线上的各点磁感应强度也相等。取如图所示安培回路EFDC，因空间无电流，由稳恒磁场的安培环路定理得：（l为E、F两点间的距离）即 ，不同磁力线上的各点磁感应强度也相等。 （5分）综上可知：在无电流的空间中，磁力线是平行直线的地方，磁场一定是匀强场。5、真空中有两个共轴的长直导体薄圆筒，内筒半径为a，外筒半径为b，皆通有沿轴线方向流动的同向电流I，电流在圆筒横截面上均匀分布，求空间的磁感应强度分布。（10分）解：取以圆筒中心轴线为中垂轴的圆环路为安培环路，令其半径为r，取与电流方向成右手关系的环绕方向为回路正方向。 （2分）由磁场的轴对称性可知，环路上各点大小相等且均沿切线方向，即 （2分）当，由得： （2分）当，由得： （2分）当，由得： （2分）说明：未写安培环路如何取者，凡涉及到用安培环路定理求磁场部分均不给分。6、一半径为的导体球带有电量为的电荷，处在相对介电常量为的无限大均匀线性电介质中。求球内外空间的电场与电势分布。（10分）解：（1）求电场分布：此体系的电场分布具有球对称性，故取与导体球同心的球面为高斯面，令其半径为r。取沿球半径向外方向为电场正方向。因高斯面上各点电场大小相等，方向均由面内指向面外，由介质中的高斯定理有 （2分）当时，有， ，又此时处于介质中，故 （2分）当时，由导体静电平衡条件知： （2分）（2）求电势分布：取无穷远处为电势零点 当时，由，得 （2分）当时，因，区域内各点电势相等，与导体球表面电势相等，故 （2分）说明：未写高斯面如何取者，凡涉及到用高斯定理求电场部分均不给分。未指定电势零点者，求电势部分不给分。7、无限长半圆柱面形金属薄片半径为R，其中通有沿平行于轴线方向的电流I，电流在横截面上均匀分布，求圆柱轴线上的P点处的磁感应强度。图2为该金属薄片在P点处的横截面图，图中电流方向为垂直纸面向外。（10分）图2解： 如图2，在无限长半圆柱面形金属薄片上沿平行于轴线方向取宽为的无限长直线电流元，此电流元可作为线电流对待。它在P点产生的磁场如图2所示。 （1分）若按此法在P点左右两侧对称取线电流元，则每一对电流元在P点处产生的合磁场，其竖直分量会相互抵消，水平分量会相互叠加，方向向右。 （3分）下面只需计算其水平分量：图中电流元的电流大小为： （1分）它在P点产生的磁场大小为： （2分）其水平分量为：合磁场： 方向：水平向右（3分） 8、如图3，半径为R的木球上密绕有单层细导线，盖住半个球面，并在垂直于半球