高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案含解析新人教A版.docx

2.2.1综合法和分析法学习目标1了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法2理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题知识链接1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2必修五中基本不等式(a0，b0)是怎样证明的？答要证，只需证ab2，只需证ab20，只需证()20，因为()20显然成立，所以原不等式成立预习导引1综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止要点一综合法的应用例1在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：ABC为等边三角形证明由A、B、C成等差数列，有2BAC.因为A、B、C为ABC的内角，所以ABC.由，得B.由a、b、c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac.再由，得a2c2acac，即(ac)20，因此ac，从而有AC.由，得ABC.所以ABC为等边三角形规律方法利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取跟踪演练1已知a，b是正数，且ab1，求证：4.证明法一a，b是正数且ab1，ab2，4.法二a，b是正数，ab20，2 0，(ab)4.又ab1，4.法三1122 4.当且仅当ab时，取“”号要点二分析法的应用例2设a，b为实数，求证：(ab)证明当ab0时，0，(ab)成立当ab0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，不等式得证规律方法用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语跟踪演练2已知a，b是正实数，求证：.证明要证，只要证ab()即证(ab)()()，因为a，b是正实数，即证ab，也就是要证ab2，即()20.该式显然成立，所以.要点三综合法和分析法的综合应用例3已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogxalogxblogxc.证明要证明：logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需要证明logxlogx(abc)由已知0xabc.由公式0，0，0，又a，b，c是不全相等的正数，abc.即abc成立logxlogxlogxx0，且xy1，那么()Axy2xy B2xyxyCx2xyy Dx2xyx0，且xy1，设y，x，则，2xy，x2xyy，故选D.2欲证成立，只需证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2b0时，才有a2b2，只需证：，只需证：()2()2.3求证：2.证明因为logab，所以左边log1952log1933log192log195log1932log1923log19(53223)log19360.因为log19360log193612，所以b，则ac2bc2B若，则abC若a3b3且abD若a2b2且ab0，则答案C解析对于A：若c0，则A不成立，故A错；对于B：若cb3且ab，故C对；对于D：若，则D不成立2A、B为ABC的内角，AB是sin Asin B的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件答案C解析由正弦定理，又A、B为三角形的内角，sin A0，sin B0，sin Asin B2Rsin A2Rsin BabAB.3已知直线l，m，平面，且l，m，给出下列四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则.其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析若l，m，则l，所以lm，正确；若l，m，lm，与可能相交，不正确；若l，m，l与m可能平行或异面，不正确；若l，m，lm，则m，所以，正确4设a，bR，且ab，ab2，则必有()A1ab Bab1Cab1 Dabab.又因为ab22，故ab1，即1ab.5要证明cb解析a2c22(84)460，ac.1，cb.7设ab0，求证：3a32b33a2b2ab2.证明法一3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因为ab0，所以ab0,3a22b20，从而(3a22b2)(ab)0，所以3a32b33a2b2ab2.法二要证3a32b33a2b2ab2，只需证3a2(ab)2b2(ab)0，只需证(3a22b2)(ab)0，ab0.ab0,3a22b22a22b20，上式成立二、能力提升8设0x1，则ax，b1x，c中最大的一个是()Aa Bb Cc D不能确定答案C解析bc(1x)0，bxa，ab0 Bab0，b0，b0答案C解析与同号，由2，知0，0，即ab0.又若ab0，则0，0.22，综上，ab0，b0是2成立的一个充分而不必要条件10如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)答案对角线互相垂直解析本题答案不唯一，要证A1CB1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1CC1，故只需证B1D1A1C1即可11已知a0，b0，1.求证：.证明要证成立，只需证1a，只需证(1a)(1b)1(1b0)，即1baab1，abab，只需证：1，即1.由已知a0，1成立，成立12求证抛物线y22px(p0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x相切证明如图，作AA、BB垂直准线，取AB的中点M，作MM垂直准线要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM|AB|，由抛物线的定义：|AA|AF|，|BB|BF|，所以|AB|AA|BB|，因此只需证|MM|(|AA|BB|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的所以以过焦点的弦为直径的圆必与x相切三、探究与创新13(2013广东)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解当n1时，2a1a212，解得a24.(2)