2011高考数学复习专题：函数的值域与最值.doc

函数的最值（值域）知识归纳一、相关概念1、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。2、最值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。记作最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。记作注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。若函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了，反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了，因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。二、 确定函数值域的原则1、当函数用表格给出时，函数的值域指表格中实数的集合；01231234则值域为1，2，3，42、函数的图像给出时，函数的值域是指图像在轴上的投影所覆盖的实数的集合；3、函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。三、基本函数的值域1、一次函数的定义域为R，值域为R； 2、二次函数的定义域为R，3、反比例函数的定义域为x|x0，的值域为4、指数函数的值域为。5、对数函数的值域为R；6、分式函数的值域为。7、正弦函数,余弦函数的值域都是。8、正切函数,的值域为R。四、求函数值域的方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域求函数值域的常用方法： 观察法、直接法、配方法、分离变量法、单调性法、导数法数形结合法（图像法）导数法数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域无论用什么方法求最值，都要检查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此。常用方法：（1）观察法(用非负数的性质，如：；等)例如：求下列函数的值域：;变式：（2）直接法：利用常见函数的值域来求，例如 ：下列函数中值域是（0，+ ）的是 （ ）A B. C. D. 解析：通过基本函数的值域可知：A的值域为0, + ）,C的值域为0,1,D的值域为2, + ).答案：B（3）配方法：常可转化为二次函数型，配成完全平方式，根据变量的取值范围，然后利用二次函数的特征来求最值；例：求值域：； 解析：通过配方可得 ；开口向上，所以当时，函数取最小值；当x时，在时，函数的最小值为；最大值在x=3时取到，；故其值域为,13; 练习： 例：求函数的值域。解：本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:配方得:利用二次函数的相关知识得,从而得出：。说明：在求解值域(最值)时,遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为：。变式1：求函数y=的值域.（答：（0,5）变式2：当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是_（答：）；变式3： （1）求最值。（-动轴定区间）（2）求的最值（-定轴动区间）变式4：已知sinxsiny，则函数sinxcos2y的最大值为_；最小值为_。答案：。解析：（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例、求函数的值域。解：由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。变式1：求函数的值域. 解析：令 （t0），则，故；用配方法求的y的值域为。变式2：的值域为_（答：）； 变式3： 的值域为_（答：）；变式4：函数的值域为_（答： ，1）(提示：三角代换)变式5：求函数的值域（答：,8）(提示：令t=，)。变式6：已知是圆上的点，试求的值域。解：在三角函数章节中我们学过：注意到可变形为：令则p)即故例：试求函数的值域。B解：题中出现而由此联想到将视为一整体，令由上面的关系式易得故原函数可变形为：（5）分离常数法（分式转化法）；对分子.分母有相似的项某些分式函数，可通过分离常数法，化成(常数)的形式来求值域 例：求函数的值域。解:观察分子、分母中均含有项,可利用部分分式法；则有 不妨令：从而注意：在本题中若出现应排除,因为作为分母.所故另解：观察知道本题中分子较为简单,可令,求出的值域,进而可得到y的值域。（6）逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：例：求函数的值域。解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。反解得 即反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：。变式1：函数y=的值域是（ ）A.1，1 B.（1，1 C.1，1） D.（1，1）解法一：y=1. 1+x21，02.1y1.解法二：由y=，得x2=.x20，0，解得1y1.解法三：令x=tan（），则y=cos2.2，1cos21，即1y1.答案：B变式2:求函数的值域变式3:求函数，及的值域（7）利用判别式法 针对分式型，尤其是分母中含有时常用此法。通常去掉分母将函数转化为二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）0时，由于x、y为实数，故必须有=b2（y）4a（y）c（y）0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.例：求函数的值域。解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即,细心的读者不难发现，在前面限定而结果却出现：我们是该舍还是留呢？注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。将分别代入检验得不符合方程，所以。变式：的值域。 ；1,5注意：1.一般用在定义域为R的情况下，如果定义域不是R，也可用，但需对最后的结果进行检验、既对y取得等号值的时候对应的x值是否在定义域范围内。2、转化后要对二项式系数是否为零进行讨论3.若对自变量有其他限制，就不好用判别式法了4、分子分母有公因式的时候不能用判别式法，要先化简。如求函数的值域。原函数可化为 =(), 即 1+(),0,（8）三角有界法：运用三角函数有界性来求值域；转化为只含正弦、余弦的函数，如，可用表示出，再根据解不等式求出的取值范围.例：求函数，的值域（答： 、）；求函数的值域。 （9）基本不等式法：利用基本不等式，；求函数的值域时，应注意“一正、二定、三相等”.设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_.（答：）。双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）。A B 4 C 2 D 解：根据双曲线的离心率公式易得：，我们知道所以（当且仅当时取“=”）而故（当且仅当时取“=”）。说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。反例：看起来可用均值不等式，其实不能（1）求函数的值域（2）求函数的最小值。原函数可化简为 令，则这是一“对勾”函数，其在上是减函数，在上为增函数，所以在上，函数的最小值是当时， ）（10）单调性法：首先确定函数的定义域，再确定函数的定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，最后求出函数的值域；常用到函数的单调性：增区间为，减区间为。或利用复合函数单调性判断：如： 函数在上单调递增，在上也单调递增。如果函数在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数在x=b处有最大值f(b)；如果函数在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数在x=b处有最小值f(b)；例：函数的值域。解：易知定义域为，而在上均为增函数，当然也可用换元法变式：求，（答：）的值域为_（答： ）；函数f(x)=的值域（）函数的值域【】（11）数形结合：分析函数解析式表示的几何意义，根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 例：求函数的值域.解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: y变式1：已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；变式2：求函数y =+ 的值域. 提示：此题可以看做到和两点的距离和。（答：变式3：求函数的最小值为_；变式4：求下列函数的值域：（1） ； （2）； （3）（4） x答案：；（12）导数法利用导数求闭区间上函数的最值的步骤是：求导，令导数等于0；确定极值点，求极值；比较端点的函数值与极值，确定最大值与最小值或值域.求函数，的最小值。（答：48）例题选讲例1、求下列函数的值域 y=3x+2(-1x1) 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 解： 即函数的值域是 y| y2 解： 即函数的值域是 y| yR且y1（此法亦称分离常数法）解：当x0，=，当x0），在XOY平面内，点P（X，Y）在射线Y=X ,X0上移动，结合图象可知，y的取值范围，即所求函数的值域是（0，1）。（11）；解：方法1：（换元）设t=,则所以所求函数的值域为方法2：（单调性），函数的定义域为，函数在单调递增，因此函数的值域为。变式1：实数x，y满足x2y22x4y0，则x2y的最大值是_；方法1：设t=x-2y，则x=t+2y代入x2y22x4y0得到，5y2+4ty+t2-2t=0，由=16t2-20t2+40t0，即t2-10t0，解得0t10。所以x-2y的最大值为10。方法2：由x2y22x4y0得到（x-1）2+(y+2)2=5表示以（1，-2）为圆心，为半径的圆，由直线和圆有公共点，即，即，解得，所以x-2y的最大值为10。方法3：设，即，设，则x-2y=,所以x-2y的最大值为10。变式2求下列函数的值域：（2种方法）；（2种方法）；（2种方法）；例3求函数的值域方法一：（判别式法）去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 当 y1时 xR =(y+5)+4(y-1)6(y+1)0由此得 (5y+1)0检验 时 （代入求根）2 定义域 x| x2且 x3 再检验 y=1 代入求得 x=2 y1综上所述，函数的值域为 y| y1且 y方法二：（分离常数法）把已知函数化为函数 (x2) 由此可得 y1 x=2时 即 函数的值域为 y| y1且 y例4（分段函数法及图像法）求函数y=|x+1|+|x-2|的值域 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是y|y3解法2：（几何法或图象法）函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+) 如图 分段函数的值域的求法是：求出每一段上的值域再求他们的并集。例5、已知函数,求的值域。分析：（同学们容易考虑到，设t=，则，需要再进行三角换元）解：，因此设（注意换元法不能改变变量的取值范围），则，所求函数的值域为例6求函数的值域；方法1：函数在定义域-1，1内单调递增，值域为方法2：三角换元，可设，又所求函数的值域为；方法3：数形结合，设，则问题转化为已知，求的取值范围“下面的思路：（数形结合）例7设函数，（1）求函数的定义域；（2）问是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由。解：（1）由，解得 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为，的定义域为（2）原函数即，当，即时，函数既无最大值又无最小值；当，即时，函数有最大值，但无最小值例8。 求函数，xa,a+2的最小值。，x0时，由得，x=0或x=-2;x0时，由得，x=0或x=2， （可见导函数只有一个零点0），下面只需研究0在开区间（a,a+2）内，左边或右边） 即时，xa,a+2时,，xa,a+2时，函数f(x)在a,a+2上是增函数，此时f(x)的最小值为；当0,即-2aa+20时，此时，,此时f(x)的值域为；时，此时f(x)的值域为0，；此时f(x)的最小值为；a0时，此时f(x)的最小值为；综上，f(x)的最小值为；例9设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性； （2）求的最小值解：（1）当时，函数，此时为偶函数；当时， 此时函数既不是奇函数，也不是偶函数；（）当时，函数若，则函数在上单调递减，从而，函数在上的最小值为；若，则函数在上的最小值为，且； 当时，函数；若，则函数在上的最小值为，且若，则函数在上单调递增，从而，函数在上的最小值为综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是变式1：设函数，（） 判断函数的奇偶性；（2）求函数的最小值解：（），由于，故既不是奇函数，也不是偶函数（）由于在上的最小值为，在内的最小值为故函数在内的最小值为例10：已知函数f(x)=,x1,+，(1)当a=时，求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x1,+,f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围 思路分析 解法一运用转化思想把f(x)0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得 (1)解 当a=时，f(x)=x+2f(x)在区间1，+上为增函数，f(x)在区间1，+上的最小值为f(1)= (2)解法一 在区间1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 设y=x2+2x+a,x1,+，y=x2+2x+a=(x+1)2+a1递增，当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 解法二 f(x)=x+2,x1,+当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 变式练习1：不等式对所有都成立，求实数的最大值。解：将问题转化为求分段函数的最小值；，所以函数的值域为，因此对所有的x恒成立，因此P的最大值为3。变式练习2：设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（）设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（）当a0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，由0知m(t)在上单调递增，g(a)=m(2)=a+2(2)当a=0时，m(t)=t, ,g(a)=2.(3)当a0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则若，即则若，即则综上有 例11已知函数，（为常数）函数定义为：对每个给定的实数，（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；（2）设是两个实数，满足，且若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立. （*）由于的最大值为，故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i）当时，由（1）知（对所有实数）Oyx(a,f(a)(b,f(b)则由及易知， 再由的单调性可知，函数在区间上的单调增区间的长度为（ii）时，不妨设，则，于是 当时，有，从而；当时，有从而 ；当时，及，由方程Oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)解得图象交点的横坐标为 显然，这表明在与之间。由易知 综上可知，在区间上， 故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得 故由、得 综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。例12.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有 （2分）（II）任意且，则 （6分）(III) (8分)，即。 故即原式成立。 （14分）例13某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车。（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100）（x150）50，整理得：f（x）=+162x21000=（x4050）2+307050。所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050。即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.点评：根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。例14对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：为，要求清洗完后的清洁度为。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为。设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度。()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；()若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响。解：()设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z。由题设有=0.99，解得x=19。由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程: 解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3。因为当,故方案乙的用水量较少。（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*）于是+当为定值时,当且仅当时等号成立。此时将代入（*）式得故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为，最少总用水量是。当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。例15（1）设，其中a、b、c、d是常数。如果求；（2）若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围。解：（1）构造函数则故：（2）原不等式可化为构造函数，其图象是一条线段。根据题意，只须：即解得。例16、设函数f（x）=|1|（x0），证明：当0ab，且f（a）=f（b）时，ab1.剖析一：f（a）=f（b）|1|=|1|（1）2=（1）22ab=a+b2ab1.证明：略.剖析二：f（x）=证明：f（x）在（0，1上是减函数，在（1，+）上是增函数.由0ab且f（a）= f（b），得0a1b且1=1，即+=2a+b=2ab2ab1.评注：证法一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法.备用练习题：一选择题：1函数的值域是 2函数的值域为 （ ）A（ B C D3. 下列函数中，值域是（0，+）的函数是 （ ）A B C D定义在上的函数的值域为，则函数的值域为 5函数在区间上的值域为，则的值为（ ） 或 6已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）A、 1，+ B、0，2 C、（-，2） D、1，27函数的值域是 8函数的定义域是，则其值域是 (函数的值域是 10函数的最大值是（ ）A BCD11已知，则有 最大值 最小值 最大值 最小值12.函数的最小值是（ ） 13若的值域为，则的值域为 以上都不对14已知函数的最大值为,最小值为,则的值为 15函数的最小值为 16设，对于函数，下列结论正确的是 有最大值而无最小值 有最小值而无最大值有最大值且有最小值 既无最大值又无最小值 17已知（是常数），在上有最大值，那么在上的最小值是 18. 函数的值域是（ ）A(B)(C) (D)19.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ） A. B. C. D. 20函数上的最大值与最小值之和为，则的值为 21.函数上的最大值与最小值之和为a,则a的值为（ ）（A） （B） （C）2 （D）422已知函数，构造函数，定义如下：当时，当时，那么（ ）有最小值，无最大值 有最小值，无最大值有最大值，无最小值 无最小值，也无最大值二填空题：1.的定义域为，那么其值域为 2. 函数在上的值域是_ 0,3.函数的值域为 4.函数的值域是 5.已知函数的定义域为，值域为，则函数的值域为 6.已知函数，则的值域是 7若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是 8函数的值域为 9.函数的值域是 10函数的值域是 ；11若函数的值域是，则函数的值域是 ；12函数的最大值为 ；已知，那么函数的最小值为 14函数在上的最大值与最小值的和为，则 215设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 16若函数在上的最大值与最小值之差为，则 17若函数的定义域和值域都是，则 18函数的最小值为 19函数的最大值是,那么实数a的取值范围是 1a0(配方法求二次函数的最