高中数学新课标人教A版选修2-1：2.2.1 椭圆及其标准方程.ppt

2 2椭圆2 2 1椭圆及其标准方程 通过图片我们看到 在我们所生活的世界中 随处可见椭圆这种图形 而且我们也已经知道了椭圆的大致形状 那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢 1 了解椭圆的实际背景 感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 重点 2 掌握椭圆的定义 会求椭圆的标准方程 重点 难点 实验操作 1 取一条定长的细绳 2 把它的两端都固定在图板的同一点处 3 套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 这时笔尖 动点 画出的轨迹是一个圆 如果把细绳的两端拉开一段距离 分别固定在图板的两点处套上铅笔 拉紧绳子 移动笔尖 画出的轨迹是椭圆 探究点1椭圆的定义 根据刚才的实验请同学们回答下面几个题 1 在画椭圆的过程中 细绳的两端的位置是固定的还是运动的 2 在画椭圆的过程中 绳子的长度变了没有 说明了什么 3 在画椭圆的过程中 绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系 思考 结合实验 请同学们思考 椭圆是怎样定义的 椭圆定义 我们把平面内与两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 两个定点F1 F2叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 MF1 MF2 F1F2 椭圆 MF1 MF2 F1F2 线段 MF1 MF2 F1F2 不存在 思考 在平面内动点M到两个定点F1 F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆 提升总结 探究点2椭圆的标准方程 根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢 思考 求曲线的方程的基本步骤是什么呢 1 建系设点 2 写出点集 3 列出方程 4 化简方程 5 检验 第一步 如何建立适当的坐标系呢 想一想 圆的最简单的标准方程 是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴 椭圆是否可以采用类似的方法呢 方案一 设M x y 是椭圆上任意一点 椭圆的两个焦点分别为F1和F2 椭圆的焦距为2c c 0 M与F1和F2的距离的和等于2a 2a 2c 0 请同学们自己完成剩下的步骤 求出椭圆的方程 解 以焦点F1 F2的所在直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系xOy 如图 设M x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距为2c c 0 M与F1和F2的距离的和等于正常数2a 2a 2c 则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 x F1 F2 M O y 由椭圆的定义得 因为 移项 再平方 整理得 两边再平方 得 它表示焦点在y轴上的椭圆 它表示焦点在x轴上的椭圆 1 2 y o F F M x 1 椭圆的标准方程的形式 左边是两个分式的平方和 右边是1 2 椭圆的标准方程中 x2与y2的分母哪一个大 则焦点在哪一个轴上 3 椭圆的标准方程中a b c满足a2 b2 c2 椭圆的标准方程有哪些特征呢 提升总结 例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 求它的标准方程 解 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 又因为 所以 因此 所求椭圆的标准方程为 所以 能用其他方法求它的方程吗 另解 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 联立 因此 所求椭圆的标准方程为 又 焦点的坐标为 变式练习 已知椭圆经过两点和 求椭圆的标准方程 解 设椭圆的标准方程为 则有 解得 所以 所求椭圆的标准方程为 x y O D M P 例2如图 在圆上任取一点P 过点P作x轴的垂线段PD D为垂足 当点P在圆上运动时 线段PD的中点M的轨迹是什么 为什么 解 设点M的坐标为 x y 点P的坐标为 x0 y0 则 因为点P x0 y0 在圆 把点 0 x y0 2y代入方程 得 即 所以点M的轨迹是一个椭圆 从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗 例3如图 设点A B的坐标分别是 5 0 和 5 0 直线AM BM相交于点M 且它们的斜率之积是 求点M的轨迹方程 y A x M B O 解 设点M的坐标 x y 因为点A的坐标是 5 0 所以 直线AM的斜率为 同理 直线BM的斜率 由已知有 化简 得点M的轨迹方程为 1 已知F1 F2是椭圆的两个焦点 过F1的直线交椭圆于M N两点 则三角形MNF2的周长为 A 10B 20C 30D 40 B D 2 椭圆的长轴是短轴的3倍 且过点A 3 0 则椭圆的标准方程是 答案 3 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆 它的焦距为2 4m 外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3m 求这个椭圆的标准方程 解 以两个焦点F1 F2所在的直线为x轴 以线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 则这个椭圆的标准方程为 根据题意知 2a 3 2c 2 4 即a 1 5 c 1 2 所以b2 a2 c2 1 52 1 22 0 81