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第八节 点函数的积分概念迄今为止, 我们先后学习了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等多种不同类型的积分. 在学习过程中, 我们也注意到上述各类积分在定义与性质的表述上相当类似,那么是否可从上述积分概念中抽象出一种统一的积分概念的表述, 使得上述各类积分都是它的一种特殊情形呢? 这个问题的答案是肯定的. 由此要引入点函数积分的概念.内容分布图示 引 言 点函数积分的概念 点函数积分的性质 点函数积分的分类及其关系 返回内容要点：点函数积分的概念点函数积分的性质点函数积分的分类及其关系一、点函数积分的概念定义1 设为有界闭区域, 函数为上的有界点函数. 将形体任意分成n个子闭区域其中表示第i个子闭区域, 也表示它的度量, 在上任取一点, 作乘积并作和 如果当各子闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为点函数在上的积分, 记为, 即其中称为积分区域, 称为被积函数, P称为积分变量, 称为被积表达式, 称为的度量微元.点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有界闭区域, 其密度为则该物体的质量特别地, 当时, 有如果点函数在有界闭区域上连续, 则在上可积.二、点函数积分的性质设在有界闭区域上都可积, 则有性质1 性质2 性质3 其中且与无公共内点.性质4 若 则性质5 若 则特别地, 有性质6 若在积分区域上的最大值为M, 最小值为m, 则性质7 (中值定理)若在有界闭区域上连续, 则至少有一点使得其中称为函数在上的平均值.三、点函数积分的分类及其关系1.若这时则 (1)这是一元函数在区间上的定积分. 当时, 是区间长.2.右且L是一平面曲线, 这时于是 (2)当时, 是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.3.若且是空间曲线, 这时则 (3)当时, 是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.4.若且D是平面区域, 这时 则 (4)(4)式称为二重积分. 当时, 是平面区域D的面积.5.若且是空间曲面, 这时 则 (5)(5)式称为第一类曲面积分. 当时, 是空间曲面的面积.由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重积分号.6.若为空间立体, 这时 则 (5)(6)式称为三重积分. 当, 则是空间立体的体积.更进一步,
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