随机过程的总复习.ppt

书山有路勤为径学海无涯网作舟 各位同学好 延边大学 随机过程 课件 欢迎大家来学习 任课教师 文香丹 E mail xdwen 随机过程 三 概率的连续性 1 极限事件 对于事件 若 则称事件序列 递增 若 则称事件序列 递减 这样可定义一个新的事件 记为 2 连续性定理 若是递增的或递减的事件序列 则 定理1 一 矩母函数 第四节矩母函数和特征函数 1 定义 称的数学期望 为X的矩母函数 2 原点矩的求法 利用矩母函数可求得X的各阶矩 即对逐次求导并计算在点的值 3 和的矩母函数 定理1 设相互独立的随机变量的矩母函数分别为 则其和 的矩母函数为 二 特征函数 1 复随机变量 设X Y为二维 实 随机变量 则称 为复随机变量 2 数学期望 3 特征函数 设X为随机变量 称复随机变量的数学期望 为X的特征函数 其中t是实数 还可写成 4 特征函数与分布函数的关系 特征函数与分布函数相互唯一确定 特别 当存在时 有 5 特征函数的性质 性质1 对任何实数t 性质2 性质3 设a b为任意实数 则Y的特征函数有 性质4 性质5 设相互独立的随机变量的特征函数分别为 则和 若随机变量X的n阶绝对矩存在 即 则X的特征函数有n阶导数 且有 的特征函数为 二 全数学期望公式 定理1 对一切随机变量X和Y 有 连续型 是随机变量Y的函数 当时取值因而它也是随机变量 离散型 二 无记忆性 若随机变量X满足 则称随机变量X是无记忆的 如果我们把X看作某仪器的寿命 则X的无记忆性表示 在仪器已工作了t小时的条件下 它至少工作小时的概率与它原来至少工作s小时的概率是相同的 换句话说 如果仪器在时刻t是完好的 则它的剩余寿命的分布就是原来寿命的分布 三 失效率函数 指数变量的无记忆性可有指数分布的失效率函数 也称风险率函数 进一步予以阐明 1 定义 设是一个非负连续随机变量X的分布函数 其密度函数 则 称为X的失效 或风险 率函数 存活函数 二 随机过程的定义 1 随机过程 设E是随机试验 是它的的样本空间 T是一个参数集 若对于每一个都有随机变量 与之对应 则称依赖于t的随机变量为随机过程 或称为随机函数 通常记作 说明1 参数集T在实际问题中 常常指的是时间参数 但有时也用其它物理量作为参数集 说明2 因为 是一个随机变量 三 随机过程的分类 1 按参数集和状态分类 参数集T的是一个可列集T 0 1 2 离散参数 连续参数 参数分类 参数集T的是一个不可列集 状态分类 离散状态 连续状态 取值是离散的 取值是连续的 T离散 I离散 T离散 I非离散 连续 参数T状态I分类 概率结构分类 2 按过程的概率结构分类 T非离散 连续 I离散 T非离散 连续 I非离散 连续 独立随机过程 独立增量随机过程 马尔可夫过程 平稳随机过程 1 独立随机过程 简称独立随机过程 2 独立增量随机过程 是相互独立的 3 马尔可夫过程 简称马氏过程 马氏过程的特点 马氏性实质上是无后效性 所以也称马氏过程为无后效过程 称这个特性为马尔可夫性 简称马氏性 4 平稳随机过程 平稳过程的统计特性与马氏过程不同 它不随时间的推移而变化 过程的 过去 可以对 未来 有不可忽视的影响 第二节随机过程的分布及其数字特征 一 随机过程的分布函数 一维分布函数 其分布函数为 一维概率密度 二维分布函数 联合分布函数 二维概率密度 n维分布函数 联合分布函数 n维概率密度 有限维分布族 一维 二维 n维分布函数的全体 易知 因此 一个随机过程的统计特性可由其有限维分布函数族表达出来 二 随机过程的数字特征 1 均值函数 或称为数学期望 说明 2 方差函数 说明 均方差函数 3 协方差函数 二阶中心混合矩 简称协方差函数 注 4 互协方差函数 其中 5 相关函数 简称相关函数 注 6 互相关函数 注 则 7 互不相关 注 有 则 即 若 3 1泊松过程的定义 定义3 1随机过程 N t t 0 是计数过程 如果N t 表示到时刻t为止已发生的事件A的总数 且N t 满足条件 1 N t 0 2 N t 取整数 3 若s t 则N s N t 4 当s t时 N t N s 等于区间 s t 中发生事件A的次数 3 1泊松过程的定义 独立增量计数过程 对于t10 事件A发生的次数N t s N t 仅与时间间隔s有关 而与初始时刻t无关 3 1泊松过程的定义 定义3 2计数过程 N t t 0 称为泊松过程 具有参数 0 如果N t 满足 1 N 0 0 2 N t 是独立增量过程 3 在任一长度为t的区间中 事件A发生的次数服从均值为 t的泊松分布 即对任意s t 0 有 3 1泊松过程的定义 注 1 泊松过程是平稳增量过程 2 E N t t 表示过程的强度 3 1泊松过程的定义 定义3 3计数过程 N t t 0 称为泊松过程 具有参数 0 如果N t 满足 1 N 0 0 2 N t 是平稳 独立增量过程 3 N t 满足下列两式 参数 0 3 2泊松过程的性质 数字特征设 X t t 0 是参数为 的泊松过程 对任意t s 0 若s t 则有 40 3 2泊松过程的性质 泊松过程的特征函数为 3 2泊松过程的性质 泊松过程的时间间隔与等待时间的分布设 N t t 0 是参数为 的泊松过程 N t 表示到t时刻为止事件A发生的次数 Sn表示第n次事件A发生的时间 n 1 也称为第n次事件A的等待时间 或到达时间 Xn表示第n 1次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔 3 2泊松过程的性质 等待时间Sn与时间间隔Xn均为随机变量定理3 2时间间隔Xn的分布设 N t t 0 是参数为 的泊松过程 Xn n 1 是相应第n次事件A发生的时间间隔序列 则随机变量Xn是独立同分布的均值为1 的指数分布 Xn X3 X2 X1 t S3 S2 S1 0 Sn 1 Sn 3 2泊松过程的性质 定理3 3等待时间Sn的分布设 N t t 0 是参数为 的泊松过程 Sn n 1 是相应等待时间序列 则Sn服从参数为n与 的 分布 概率密度为 3 2泊松过程的性质 参数为n与 的 分布又称爱尔兰分布 它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的分布 指数分布的矩母函数为 特征函数 分布的矩母函数为 特征函数 3 3非齐次泊松过程 称计数过程 N t t 0 为具有跳跃强度函数 t 的非齐次泊松过程 如果满足 1 N 0 0 2 N t 是独立增量过程 3 非齐次泊松过程的均值函数 定义3 4 3 3非齐次泊松过程 设 N t t 0 为具有均值函数的非齐次泊松过程 则有或 证明方法与齐次泊松过程类似 3 3非齐次泊松过程 N t t 0 为具有强度函数 t 的非齐次泊松过程 则EX t DX t mX t 性质 3 4复合泊松过程 定义3 5设 N t t 0 是强度 的泊松过程 Yk k 1 2 是一列独立同分布随机变量 且与 N t t 0 独立 令则称为复合泊松过程 二 复合泊松过程的性质 设是复合泊松过程 则 1 X t t 0 是独立增量过程 2 X t 的矩母函数 是事件的到达率 Y u 是随机变量Y1的矩母函数 3 若 则 定理 5 1马尔可夫链与转移概率 定义4 2称条件概率pij n P Xn 1 j Xn i 为马尔可夫链 Xn n T 在时刻n的一步转移概率 简称转移概率 其中i j I 定义4 3若对任意的i j I 马尔可夫链 Xn n T 的转移概率pij n 与n无关 则称马尔可夫链是齐次的 并记pij n 为pij 齐次马尔可夫链具有平稳转移概率 状态空间I 1 2 3 一步转移概率为 5 1马尔可夫链与转移概率 转移概率性质 1 2 P称为一步转移概率矩阵 5 1马尔可夫链与转移概率 定义4 4称条件概率 P Xm n j Xm i 为马尔可夫链 Xn n T 的n步转移概率 i j I m 0 n 1 n步转移矩阵其中 说明 二 基本性质 性质1 的联合分布可由初始分布及转移概率所决定 即有 则 性质2 表明 一个马氏链 如果按相反方向的时间排列 所成的序列也是一个马氏链 性质3 表明 若已知现在 则过去与未来是独立的 4 2切普曼 柯尔莫哥洛夫方程及状态分类 定理4 1设 Xn n T 为马尔可夫链