4.2导数的应用.doc

第2讲 导数的应用随堂演练巩固1.f(x)=x3+1的单调减区间是 A.RB.C.(0,+)D.(,0)答案：A2.下图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于A.B.C.D.答案：C解析：由图象可得f(x)=x(x+1)(x2)=x3x22x,又x1、x2是f(x)=3x22x2=0的两根，x1+x2=,x1x2=,故x12+x22=(x1+x2)22x1x2=()2+2=.3.已知f(x)=2x36x2+m(m为常数)在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是 A.37B.29C.5D.以上都不对答案：A解析：f(x)=6x212x=6x(x2),f(x)在(2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，当x=0时，f(x)=m最大.m=3,从而f(2)=37,f(2)=5,最小值为37.4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间1，2上是减函数，那么b+c A.有最大值B.有最大值C.有最小值D.有最小值答案：B解析：由f(x)在1，2上是减函数，知f(x)=3x2+2bx+c0,x1,2,则15+2b+2c0b+c.5.已知函数f(x)=alnx+x在区间2，3上单调递增，则实数a的取值范围是_.答案：2,+)解析：f(x)=alnx+x,f(x)=+1.又f(x)在2，3上单调递增，+10在x2,3上恒成立.a(x)max=2.a2,+).课后作业夯基1.函数f(x)=1+xsinx在(0，2)上是 A.增函数B.减函数C.在(0，)上增，在(，2)上减D.在(0，)上减，在(，2)上增答案：A解析：f(x)=1cosx0,f(x)在(0，2)上递增，故选A.2.若函数y=a(x3x)在区间(，)上为减函数，则a的取值范围是 A.a0B.1a1D.0a1答案：A解析：y=a(3x21),函数在(，)上为减函数，y0在(，)上恒成立.3x210.3.若a3，则方程x3ax2+1=0在(0，2)上恰有A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根答案：B解析：令f(x)=x3ax2+1,则f(x)=3x22ax=3x(xa).由f(x)=0，得x=0或x=a(a3,a2),当0x2时，f(x)0，即f(x)在(0，2)上单调递减.又f(0)f(2)=84a+1=94a0,f(x)在(0，2)上有一个零点，即方程在(0，2)上有一实根，故选B.4.已知函数y=f(x)(xR)的图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为 A.(,)(,2)B.(,0)(,2)C.(,)(,+)D.(,)(2,+)答案：B解析：由y=f(x)图象的单调性可得f(x)在(,)(2,+)上大于0，在(，2)上小于0，xf(x)0的解集为(,0)(,2).5.若函数f(x)=x36bx+3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是 A.(0，1)B.(,1)C.(0,+)D.(0,)答案：D解析：f(x)=3x26b,由题意，函数f(x)图象如下.即得0b.6.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间0，上的值域为 A.，eB.(,eC.1,eD.(1,e)答案：A解析：f(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosxsinx)=excosx,当0x时，f(x)0,f(x)是0，上的增函数.f(x)的最大值为f()=e,f(x)的最小值为f(0)=.7.直线y=a与函数f(x)=x33x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是_.答案：(2,2)解析：令f(x)=3x23=0,得x=1,可求得f(x)的极大值为f(1)=2.极小值为f(1)=2,如图所示，2am，则实数m的取值范围是_.答案：(,)解析：若对于x1,2,都有f(x)m，则只需求出f(x)在1，2上的最小值.f(x)=3x2x2,令f(x)=0,得x1=,x2=1.当x1,)时，f(x)0;当x(，1)时，f(x)0.因此，当x=时，f(x)有极大值f()=;当x=1时，f(x)有极小值f(1)=.又f(1)=,f(2)=7,因此，f(x)在1，2上的最小值是，即m的取值范围是m.9.要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为12，则它的长为_，宽为_，高为_时，可使表面积最小.答案：6 cm 3 cm 4 cm解析：设底面宽为x cm,则长为2x cm,高为 cm.S=4x2+=4x2+.S=8x=0,x=3 cm.令S0,则0x0,则x3.当x=3 cm时,S有最小值.长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm时，可使表面积最小.10.(2011届北京海淀检测)设函数f(x)=x33ax+b(a0).(1)若曲线y=f(x)在点(2，f(2)处与直线y=8相切，求a,b的值；(2)求函数f(x)的单调性与极值点.解：(1)f(x)=3x23a,因为曲线y=f(x)在点(2，f(2)处与直线y=8相切，所以即解得a=4,b=24.(2)f(x)=3(x2a)(a0).当a0，函数f(x)在(,+)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点.当a0时，由f(x)=0得x=.当x(,KF(aKF)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(,)时，f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=是f(x)的极大值点，x=是f(x)的极小值点.11.设a0，函数f(x)=,b为常数.(1)证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；(2)若函数f(x)的极大值为1，极小值为1，试求a的值.解：(1)证明：f(x)=,令f(x)=0，得ax2+2bxa=0,=4b2+4a20,方程有两个不相等的实根，记为x1,x2(x1x2),即f(x)=.f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)0+0f(x)极小值极大值可见，f(x)的极大值点和极小值点各有一个.(2)由(1)得相加，得a(x1+x2)+2b=x22x12.x1+x2=,x22x12=0.即(x2+x1)(x2x1)=0,又x1x2,x1+x2=0,从而b=0,a(x21)=0，得x1=1,x2=1.故a=2.12.已知a0,函数f(x)=(x22ax)ex.(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；(2)设f(x)在1，1上是单调函数，求a的取值范围.解：(1)对函数f(x)求导数，得f(x)=(x22ax)ex+(2x2a)ex=x2+2(1a)x2aex.令f(x)=0,得x2+2(1a)x2aex=0,从而x2+2(1a)x2a=0.解得x1=a1,x2=a1+,其中x1x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(,x1)x1(x1,x2)x2(x2+)f(x)+00+f(x)极大值极小值即f(x)在x=x1处取到极大值，在x=x2处取到极小值.当a0时，x11,x20,