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第十八章隐函数定理及应用 1隐函数 隐函数概念隐函数存在性条件的分析隐函数定理隐函数求导举例 一 隐函数概念 在此之前我们所接触的函数其表达式是自变量的 某个算式 这种形式的函数称为显函数 例如 在实际问题中 经常遇到另一种形式的函数 其 自变量与因变量之间的对应法则由一个方程确定 例如 例如方程 确定了定义在 1 1 上的隐函数 也确定了定义在 1 1 上的另一隐函数 确定了定义在I上的隐函数y f x 则有 并非任一方程都能确定出隐函数 例如方程 就不能确定任何函数f x 使得 本节讨论 1 方程在什么条件下才能确定隐函数 例如 方程 当C 0时 能确定隐函数 当C 0时 不能确定隐函数 2 在方程能确定隐函数时 研究隐函数的连续性 可微性及求导方法问题 三 隐函数定理 一个方程所确定的隐函数及其导数 所以由隐函数定理 方程 例如方程 函数 都在点 0 1 的某邻域连续 以及偏导数 且 确定了定义在x0 0的某邻域 1 1 上的隐函数 方程 所确定的隐函数 的导数为 四 隐函数求导举例 例 验证方程 在点 0 0 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 并求 解 令 连续 由定理18 2可知 导的隐函数 则 在x 0的某邻域内方程存在单值可 且 在点 0 0 某邻域 F x y 连续 两边对x求导 两边再对x求导 令x 0 注意此时 求隐函数导数的另一方法 例 设 解法1 再对x求导 方程两边分别对x求导 解法2利用公式 设 则 两边对x求偏导 例 设F x y 具有连续偏导数 解法1利用偏导数公式 确定的隐函数 则 已知方程 故 对方程两边求微分 解法2微分法 例4 反函数的存在性与其导数 设y f x 在x0的某邻域内有连续的导函数 考虑方程 由于 所以方程 隐函数 其导数 能
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