《随机分析补充知识》PPT课件.ppt

第二章随机分析 第一节二阶矩过程 第二节均方极限 第三节均方连续 第四节均方导数 第五节均方积分 第一节二阶矩过程 一 定义 则称为二阶矩过程 Home 解 由于和V都服从正态分布 所以也具有正态分布 且 Home 二 性质 二阶矩过程的协方差函数一定存在 证 由许瓦兹不等式得 故 即二阶矩过程的协方差函数存在 注 Home 说明 在讨论二阶矩过程中 常假定均值为零 这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同 返回 Home 第二节均方极限 一 均方收敛 定义1 记作 或简记为 Home 二 均方收敛准则 定理1 柯西准则 则均方收敛的充要条件为 证 只证必要性 因为均方收敛于X 所以有 Home 又由 所以 故 Home 注 等价 存在 其说明随机变量序列均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛 三 均方收敛性质 性质1 若 则 证 由许瓦兹不等式得 因 故得证 注 当均方收敛于X时 的期望收敛于X的期望 Home 性质2 若 则 证 由许瓦兹不等式得 因 故得证 Home 性质3 若 则对任意常数a b都有 证 因为 故得证 Home 性质4 若 则 注 因 证 于是 即 Home 均方极限的唯一性 解 由Cauchy准则 在级数收敛的条件下 可得均方收敛 例2 Home 第三节均方连续性 均方收敛 定义1 即 则称在点t均方连续 一 均方连续 称在时均方收敛于 Home 二 均方连续准则 定理1 则 证 充分性 则 所以 Home 再证必要性 又 由均方收敛性质2得 定理2 证 由定理1知 Home 再由均方收敛性质2 得 即 Home 定理3 则 证 由均方连续定义 从而 说明 在均方连续的条件下 均值运算与极限运算的次序可以互换 但要注意 上式左边为普通函数的极限 而右边表示均方收敛意义下的极限 Home 第四节均方导数 一 均方导数的定义 定义1 如果均方极限 存在 则称在t处均方可微 并将此极限记作 即有 或 Home 二次均方可微 二阶均方导数 定义2 广义二次可微 存在 Home 二 均方可微准则 定理1 证 由均方收敛准则知 的充要条件是 存在 而 存在 Home 三 均方导数的性质 性质1 性质2 Home 性质3 性质4 证1 设在t处均方可微 则在t处均方连续 其它类似可证 性质5 Home 四 1 证 注 均方导数的均值等于均值函数的导数 而为普通意义下的确定性函数 故可用分析的方法求导 Home 2 证 Home 注 求偏导数得到 3 证明 Home 即 同理可得 又因 故 Home 注 随机过程的相关函数求两次混合偏导数 例1 证明 返回 Home 第五节均方积分 一 均方黎曼可积 定义1 分割 作和式 如果 则称 并称 记作 即 Home 二 均方可积准则 定理1 即黎曼积分 存在 证 由均方收敛准则可知 即 存在 Home 如果上式极限存在 其极限值就是黎曼积分 Home 定理2 证明 由定理1知 三 均方积分的性质 性质1 Home 性质2 其中 性质3 Home 性质4 性质5 均方可积的唯一性 四 均方积分的数字特征 1 随机过程积分的期望 Home 证 注1 注2 Home 2 均方积分的方差及协方差函数 则 证 Home 注 同样可以证明 3 均方积分的自相关函数及互相关函数 则 Home 证 只证明 其他类似可证 Home