高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2量词学案新人教B版.docx

1.1.2量词1通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义(重点)2能够用全称量词符号表示全称命题，用存在量词符号表示存在性命题(难点)3会判断全称命题和存在性命题的真假(难点、易错点)基础初探教材整理1全称量词与全称命题阅读教材P4P5思考与讨论下面第4自然段，完成下列问题1全称量词与全称命题短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示含有全称量词的命题，叫做全称命题2全称命题的形式设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为xM，p(x).给出四个命题：末位数是偶数的整数能被2整除；正方形是菱形；任意实数x，|x|0；对于任意实数x,2x1是奇数下列说法正确的是()A四个命题都是真命题B有三个真命题C有两个真命题D有一个真命题【答案】C教材整理2存在量词与存在性命题阅读教材P5倒数第4自然段P6，完成下列问题1存在量词与存在性命题短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中称为存在量词，并用符号“”表示，存在量词的命题称为存在性命题2存在性命题的形式设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号记为xM，q(x).判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数x0，使x2x030；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数【解】(1)由于xR，x22x3(x1)222，因此使x22x30的实数x不存在所以，存在性命题“有一个实数x0，使x2x030”是假命题(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型全称命题和存在性命题的概念指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断它们的真假(1)xN,2x1是奇数；(2)存在一个x0R，使0；(3)对任意向量a，|a|0；(4)有一个角，使sin 1. 【导学号：25650006】【精彩点拨】(1)上述各命题中分别含有什么量词？(2)如何判断它们的真假？【自主解答】(1)是全称命题，因为xN,2x1都是奇数，所以该命题是真命题(2)是存在性命题因为不存在x0R，使0成立，所以该命题是假命题(3)是全称命题因为|0|0，|a|0不都成立，因此，该命题是假命题(4)是存在性命题，因为R，sin 1,1，所以该命题是假命题1判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断2全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)(2)要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个存在性命题就是假命题再练一题1以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是()A锐角三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数x，使x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数x，使2【解析】A中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中，x0时，x20，所以B既是存在性命题又是真命题；C中，因为()0，所以C是假命题；D中，对于任一个负数x，都有x；不存在实数x，使x2x10，成立；显然成立【答案】全称命题与存在性命题真假的判断判断下列命题的真假：(1)xR，x210；(2)x3,5,7,3x1是偶数；(3)xQ，x23；(4)xR，x2x10. 【导学号：25650007】【精彩点拨】结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断【自主解答】(1)由于xR，都有x20，所以有x2110，所以“xR，x210”是真命题(2)因为对集合3,5,7中的每一个值，都有3x1是偶数，所以“x3,5,7,3x1是偶数”是真命题(3)由于使x23成立的实数只有，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“xQ，x23”是假命题(4)因为对于x2x10，0 DxR,2x0【解析】选项A，lg x0x1；选项B，tan x1xk(kZ)；选项C，x30x0；选项D,2x0xR.【答案】C探究共研型全称命题与存在性命题的应用探究已知关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，求实数a的取值范围【提示】不等式有解问题是存在性命题，只须0即可已知函数f(x)x22x5，是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由【精彩点拨】(1)mf(x)0恒成立mf(x)恒成立求yf(x)的最大值mymax【自主解答】(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.应用全称命题与存在性命题求参数范围的两类题型1全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决2存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设再练一题4若xR，f(x)(a21)x是单调减函数，则a的取值范围是_. 【导学号：25650008】【解析】由题意知，0a211，即解得1a或a1.【答案】(，1)(1，)构建体系1下列命题中是全称命题，且为假命题的是()A存在x0R，sin x0cos x02B偶函数图象关于y轴对称CmR，x2mx10无解DxN，x3x2【解析】A，C中命题是存在性命题，故排除B为省略量词的全称命题，且为真命题D为全称命题，当x0或1时，x3x2，故D中命题是假命题【答案】D2下列命题为存在性命题的是()A偶函数的图象关于y轴对称B正四棱柱都是平行六面体C不相交的两条直线是平行直线D有很多实数不小于3【解析】A，B，C都是全称命题，D命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题【答案】D3下列命题中是真命题的有_(只填序号)(1)xR，x22x10；(2)xR，|x|0；(3)xN*，log2x0；(3)xR，cos x.【解析】(1)当x1时，x22x10，命题是假命题(2)当x0时，|x|0成立，命题是真命题(3)当x1时，log2x0，命题是假命题(4)当xR时，cos x1,1，而1，不存在xR，使cos x，命题是假命题【答案】(2)4命题p：x0R，x2x050是_(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是_命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：_.【解析】命题p：x0R，x2x050是存在性命题因为x22x5(x1)240恒成立，所以命题p为假命题命题p的否定为：xR，x22x50.【答案】