顽健自适应波束形成算法.doc

第6期宋昕等：顽健自适应波束形成算法13顽健自适应波束形成算法宋昕，汪晋宽，刘福来，王彬（东北大学 信息科学与工程学院， 辽宁 沈阳 110004）摘 要：针对方向向量偏差会导致最小均方(LMS)算法的性能急剧下降这一问题，提出了一种基于可变对角载入的顽健自适应波束形成算法。采用最陡下降法对信号方向向量进行优化求解，并在每次迭代过程中更新对角载入值，进而求出最优的权重向量，避免了矩阵求逆运算和特征值分解运算，大大降低了计算复杂度。通过建立步长与输入信号的关系得到可变的步长因子，克服了收敛速度和稳态误差之间的矛盾。该算法收敛速度快，抗扰动性强，对信号方向向量偏差具有很强的顽健性，从而改善了阵列输出的信干噪比，使其更接近最优值。理论分析和仿真结果表明与传统自适应波束形成算法相比，所提顽健算法具有更好的性能。关键词：自适应波束形成；变步长；对角载入；信号方向向量偏差中图分类号：TN 911.7 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2009)06-0007-06Robust adaptive beamforming algorithmSONG Xin, WANG Jin-kuan, LIU Fu-lai, WANG Bin(School of Information Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang 110004, China)Abstract: The performance of least mean squares (LMS) algorithm degraded dramatically in the presence of even slight steering vector mismatches. In order to overcome the shortage, a novel robust adaptive beamforming algorithm based on the variable diagonal loading technique was proposed. The signal steering vector was obtained via the gradient-descent method and the diagonal loading term was incorporated at each recursive step. Then, the optimal weight vector was derived. To account for the contradiction of convergence rate and steady errors, a function between the step size and input signals was built to obtain the variable step size. The proposed algorithm had a low complexity cost without the inverse matrix and eigendecomposition. The proposed algorithm offered faster convergence rate, provided a sufficient robustness against the mismatches and made the mean output array SINR consistently close to the optimal one. The theoretical analysis and simulation results demonstrate that the performance of the proposed algorithm can outperform that of the conventional algorithm.Key words: adaptive beamforming; variable step size; diagonal loading; signal steering vector mismatches1 引言 收稿日期：2007-03-22；修回日期：2009-03-29基金项目：国家自然科学基金资助项目（60874108）Foundation Item: The National Natural Science Foundation of China (60874108)自适应波束形成算法被广泛应用于雷达、声纳、自适应信道均衡和阵列信号处理等诸多领域15。最小均方(LMS)算法是自适应波束形成算法中估计梯度的方法，它具有结构简单、计算量小、易于实现、稳定性高等优点。但在实际通信环境中，由于期望信号波达方向DOA估计不够精确或者存在一定的指向偏差，导致传统自适应波束形成算法的性能急剧下降。近年来对于存在方向向量偏差的顽健自适应波束形成算法一直是人们研究的热点问题，提出了不少有效的波束形成算法。基于对角载入的波束形成算法6属于固定对角载入算法，适用于期望信号相对较弱而干扰信号很强的通信环境，由于对角载入值不能随实际情况的变化而调整，波束形成器的性能将受到影响。导数约束法7是通过平滑方向图函数，使得波束主瓣变宽来提高算法的顽健性，但减少了抑制干扰的自由度。把一些优化理论方法应用到顽健波束形成设计中，如Gershman提出当方向向量的值域为某个不确定集合时，顽健波束形成可表述成二阶凸规划问题，利用标准的内点算法软件来求解权重向量，但无法得到闭式解表达式8。本文采用方向向量偏差的模值作为非线性约束条件，利用最陡下降法得出基于可变对角载入的方向向量，即对角载入值可以随方向向量偏差和信噪比的变化而调整。通过建立步长与输入信号之间的关系得到可变步长因子，可以解决收敛速度与稳态误差之间的矛盾。该算法提高了系统的顽健性，改善了输出的信干噪比，降低了计算复杂度，能够适应实际复杂的通信环境。仿真实验验证了所提顽健自适应波束形成算法的有效性和优越性。2 算法描述2.1 信号模型考虑各向同性的个阵元的均匀线阵，阵元间距为，期望信号波达方向为，有个干扰源，波达方向分别为, 其中。以阵列的第个阵元为基准，各个窄带信号在基准阵元的复包络分别为，则第个阵元端接收的信号为(1)其中，为信号的波长，为第个阵元上均值为零、方差为的白噪声。表示成向量的形式为(2)其中，为接收向量，为期望信号，a为期望信号的方向向量，为期望信号向量，为干扰向量，为噪声向量。阵列输出为(3)其中，为权重向量，表示矩阵的转置，表示矩阵的共轭转置。 阵列输出的信干噪比定义为(4)其中，(5)(6)分别为阵列期望信号的协方差阵和干扰和噪声的协方差阵。在信号处理中，为保证期望信号正常接收，应尽量减弱和抑制干扰信号，即增大系统的输出信干噪比。在自适应阵列天线系统中，通过调整权重向量，可使系统的输出信干噪比达到最优值，即(7)其中，为信号的功率。式(7)给出了式(4)的输出信干噪比的上限。2.2 约束最小均方算法约束最小均方(CLMS)算法的基本原理是基于最陡下降法，用带有约束条件的阵列输出功率代替均方误差，沿着权值方向搜索达到输出的功率最小，其代价函数为(8)利用拉格朗日因子方法求出最优权重向量为(9)实际上，协方差矩阵无法获得，只能用次信号采样样本的协方差矩阵来代替。(10)则权重向量改写为(11)利用最陡下降法得到CLMS算法的递推公式为9(12)在实际通信环境中，由于约束LMS算法的输出功率受到式(8)中的约束条件限制，将有偏差的信号作为期望信号进行保护，而对其他方向的信号（包括实际有用信号和干扰信号）加以抑制，因此方向图才会在实际信号处形成零陷。在理想情况下，实际的方向向量等于假定的方向向量，即，得到输出的信干噪比为(13)当存在偏差时，即，则有(14)由于与不匹配，所以，则(15)将式(15)代入式(13)得到关系式为(16)则输出信干噪比可改写为(17)其中，为计算被矩阵加权的2个向量和之间的广义角的余弦，即(18)显然，。通过上述分析表明，约束方向向量与期望信号真实方向向量不一致时，自适应波束形成算法的输出信干噪比下降，产生信号相消的现象10。3 顽健自适应波束形成算法为了解决方向向量偏差导致算法输出性能下降问题，本文提出利用非线性约束条件下的最小化阵列输出功率对方向向量进行优化，提高了系统的顽健性。在实际应用中，可假设信号方向向量偏差为。(19)则信号的实际方向向量为(20)所提顽健算法的代价函数为非线性约束条件下的最优化阵列输出功率，即(21)为了避免的情况出现，假设，则式(21)的不等式约束可转化为等式约束为(22)式(22)的优化问题是基于如下考虑：存在信号方向向量偏差时，通过调整波束空间的方向图，可以将主波束对准有用信号，从而在维持有用信号的输出功率基本不变的同时最小化干扰的输出功率，加强对干扰信号功率的抑制。式(22)的解可通过最小化函数而得到(23)其中，为拉格朗日因子。将式(23)对求梯度有(24)令梯度式(24)为零得到(25)把式(25)代入式(22)的约束条件中，得到(26)对式(26)中的进行特征值分解，即(27)其中，为特征向量矩阵，式中为的特征值，。将式(27)代入式(26)中，得到(28)令，简化式(28)为(29)可以证明，式(29)中的存在唯一解1113。当时，而当时，。所以对于给定的，式(29)中的存在唯一解。下面给出的取值范围，即(30)利用牛顿方法解式(29)求出拉格朗日因子，然后把求出的代入式(25)中求出，进而求出实际方向向量。则最优权重向量可表示为(31)从式(31)可知，权重向量是通过对矩阵求逆和特征值分解运算得到的最优值，其计算量会随着阵元数目和采样数目的增加而剧增，而且在实际环境中，信号的特性信息不能完全获得，环境也是实时变化的，所以采用递推算法来减少这些因素的影响是合适的。利用矩阵求逆引理，可得逆矩阵(32)其中，。基于最陡下降法得到顽健自适应波束形成算法的递推公式为(33)把式(33)代入式(22)的约束条件中，得到(34)其中，。 解式(34)得到可变对角载入因子为(35)其中，(36)把求得的可变对角载入因子代入式(33)中求出，进而得到实际方向向量。则最优权重向量可改写为(37)4 性能分析式(27)的另一种表达形式为(38)把式(31)代入式(4)可以得出，权重向量公式的分母是常量并不影响输出信干噪比的性能。为了讨论上的方便，简化权重向量为(39)分析式(39)可知，由于引入非线性约束条件，使该算法为对角载入算法，通过因子来缩放信号，提高了算法的性能。式(33)可写为(40)其中，式中，是的特征值，且。在方程(40)的两边左乘，得(41)为了表示方便，式(41)可写为(42)其中，。令，由上式的递推关系得(43)从式(43)可知，若使收敛，需满足，即。则有，为最大特征值，且。对于LMS类算法，典型的值取上界的1/10数量级，即。因此在收敛的每一步都要重新确定值，以期达到较好的收敛效果。这样在初始收敛阶段或者系统参数发生变化时，采用大步长，使得算法有较快的收敛速度或对时变系统的跟踪速度；然后随着算法逐渐进入稳态时，减小步长，使得算法的稳态误差减小。5 仿真实验结果 考虑10个阵元的等距线阵，间距为半个波长，采样次数为100，对于每一点都进行100次的仿真实验，仿真结果如图16所示。假设期望信号的波达方向为，2个干扰源的波达方向分别为和。实验1 阵列方向图的比较设条件为，信号的实际波达方向为，即偏差为。图1给出了方向向量无偏差情况下2种算法在信号波达方向上形成的阵列方向图。图中垂直的点划线表明期望信号的波达方向。从图中可以看出，顽健自适应波束形成算法的方向图在期望信号处形成了很高的增益，达到了提取有用信号的目的。图1 2种算法阵列方向图(无偏差)图2给出了方向向量存在偏差时的阵列方向图。从图中可以看出约束LMS算法在有用信号处形成图2 2种算法阵列方向图(偏差)了零陷，而所提算法在存在偏差的情况下也有很高的阵列增益，具有很强的顽健性。实验2 输出信干噪比的比较设条件为，信号的实际波达方向为，即偏差为。图3给出了无偏差情况下阵列输出的信干噪比随采样数目的变化曲线。存在偏差的情况下阵列输出的信干噪比随采样数目的变化曲线由图4给出。从实验2可以看出，约束LMS算法把期望信号当成干扰，输出信干噪比性能损失严重，所提顽健算法对信号方向向量偏差有很强的顽健性，输出信干噪比要明显优于约束LMS算法。图3 阵列输出的信干噪比(无偏差)图4 阵列输出的信干噪比(偏差)实验3 2种算法在不同信噪比下的性能比较设条件为信号的实际波达方向为，即偏差为，采样次数为。图5给出了无偏差情况下阵列输出的信干噪比随信噪比的变化曲线。存在偏差的情况下阵列输出的信干噪比随信噪比的变化曲线由图6给出。实验3表明，随着输入信噪比的增加，约束LMS算法的输出信干噪比性能下降越明显，而顽健波束形成算法对方向向量偏差的敏感度较低，输出的信干噪比更接近最优值。图5 阵列输出的信干噪比(无偏差)图6 阵列输出的信干噪比(偏差)6 结束语针对传统波束形成算法在实际应用中性能下降的问题，提出了一种基于可变对角载入的顽健自适应波束形成算法，并对其性能进行了分析。该算法利用非线性的约束条件对信号方向向量进行优化求解，且优化解中的对角载入值能够准确求出。该算法避免了矩阵求逆运算和特征值分解运算，大大降低了计算复杂度，易于实时实现。本文所提顽健波束形成算法具有良好的收敛性、很小的失调量，对信号方向向量偏差有很强的顽健性，从而使阵列输出的信干噪比在采样数目或输入信噪比变化的情况下都更接近最优值。理论分析和仿真实验结果验证了此算法的可行性和优越性。参考文献：1GERSHMAN A B, NEMETH E, BOHME J F. Experimental performance of adaptive beamforming in a sonar environment with a towed array and moving interfering sourcesJ. IEEE Trans Signal Processing, 2000, 48(1): 246-250.2GORODETSKAYA E Y, MALEKHANOV A I, SAZONTOV A G. Deep-water acoustic coherence at long ranges: theoretical prediction and effects on large-array signal processingJ. IEEE J Ocean Eng, 1999, 24(4): 156-171.3LO K W. Adaptive array processing for wide-band active sonarsJ. IEEE Oceanic Engineering, 2004, 29(7): 837-846.4JOSHI G G, DIETRICH C B, STUTZMAN W L. Adaptive beamforming measurements using four-element portable and mobile arraysJ. IEEE Trans. Antennas Propagat., 2005, 53(12): 4065-4072.5宋昕, 汪晋宽, 薛延波. 鲁棒约束恒模自适应波束形成算法J. 电子学报, 2006, 34(10): 1833-1837.SONG X, WANG J K, XUE Y B. Robust constrained CMA adaptive beamforming algorithmJ. Acta Electronica Sinica, 2006, 34(10): 1833-1837. 6CARLSON B D. Covariance matrix estimation errors and diagonal loading in adaptive arraysJ. IEEE Trans Aerosp Electron Syst, 1988, 24(7): 397-401.7ZHANG S, THNG I L. Robust presteering derivative constraints for broadband antenna arraysJ. IEEE Trans Signal Processing, 2002, 50(1): 1-10.8VOROBYOV S A, GERSHMAN A B, LUO Z Q. Robust adaptive beamforming using worst-case performance optimization: a solution to the signal mismatch problemJ. IEEE Trans. Signal Processing, 2003, 51(2): 313-323.9GODARA L C. Application of antenna arrays to mobile communications beamforming and direction of arrival considerationsJ. Proc IEEE, 1997, 85(8): 1195-1245.10刘宏清, 廖桂生, 张杰. 稳健的Capon波束形成J. 系统工程与电子技术, 2005, 27(10): 1669-167