含参数恒成立不等式问题的解题策略.doc

含参数恒成立不等式问题的解题策略河南省三门峡市卢氏一高高三数学组（472200）赵建文 张贺忠 Eail:691724121 含参数不等式恒成立问题是高中数学中的一类重要问题，是高考考查的重点和热点，本文将这类问题的解题策略作以介绍，供同学们学习时参考. 一、主元变换法例1已知关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.分析：本题是对含参数的不等式在某个区间上恒成立，用主元变换法处理.解析：将其化为关于的不等式：对恒成立，当=1时，不等式化为00，不成立.当1时，关于的一次函数=在-2,4上的值恒为正值，无论一次项系数为正还是为负，只需要，即，解得或.所以实数的取值范围.点评：对含参数的不等式在某个区间上恒成立问题，若将其看成关于已知范围的变量的不等式更为简单，常将已知范围的变量看作主变量，化为关于已知范围的变量的不等式，结合对应的函数图像，得出其满足的条件，通过解不等式求解.二、数形结合法例2已知关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.分析：本题是一边为二次式另一边是对数式的不等式问题，用数形结合法.解析：作出=和的图像，由题意知对，=图像恒在的图像的下方，故，解得,故实数的取值范围为.点评：对不等式经过移项等变形，可化为两边是熟悉的函数的形式，特别是可化为一边为多项式另一边是超越函数的不等式问题和含参数的一元二次不等式问题，常常用数形结合法，先构造函数，再作出其对应的函数的图像，结合图像找出其满足的条件，通过解不等式求出参数的范围.例3.对任意实数不等式恒成立，求实数的取值范围.分析：设=,对任意实数不等式恒成立即转化为求函数=的最小值，画出此函数的图象即可求得的取值范围.解：令=在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数不等式恒成立只需.故实数的取值范围点评：本题中若将对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围，改为任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围，同样由图象可得3;对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围,构造函数，画出图象，得3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.三、分离变量法例3已知函数在R上是减函数，对一切不等式 成立，求实数的取值范围.分析:先用函数的单调性化为关于的不等式，再用分离变量法，化为一端关于的式子另一端是关于的式子的不等式，解析：函数在R上是减函数，对一切不等式 成立，对一切恒成立，对一切恒成立，设=， =，当=1即=（）时，=2，2， 解得或3，实数的取值范围为或3.点评：对含参数不等式的在某个范围上恒成立求参数范围问题,若容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，即化为不等式(或)在的某个范围上恒成立问题,则(),先求出的最值，将其转化为关于的不等式问题，通过解不等式求出参数的取值范围.四、分类讨论法例4当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析：本题不等式左边是对数式，底数含参数，故需要对底数分类讨论.解析：原不等式可化为：，当01 时，对数函数是减函数，则原不等式等价于：对恒成立， 当时，=8， 8，解得，或；当1 时，对数函数是增函数，则原不等式等价于：对恒成立， 当时，=2， 2，解得，或 1，综上所述，实数的取值范围为.点评：对含参数恒成立的不等式问题，若参数取值不同，是不同的不等式或解法不同时，可对参数进行分类讨论进行求解，注意分类要做到不重不漏.五、判别式法例5不等式1对R恒成立，求实数的取值范围.分析：本题左边是分子和分母都为关于二次三项式，可用判别式法.解析：0恒成立， 原不等式可化为：0对R恒成立，20， =0，解得13，实数的取值范围为（1，3）.点评：对可化为关于一元二次不等式对对R（或去掉有限个点）恒成立，常用判别式法.先将其化为关于一元二次不等式，结合对应的一元二次函数图像，确定二次项系数与判别式满足的条件，化为关于参数的不等式问题，通过解不等式求解.注意二次是否可为0.六、最值法例6若已知不等式对恒成立，求实数的取值范围.分析：本题是一元二次不等式在某个区间上恒成立问题，将其化为一边是关于的二次式的另一边为0的形式，其对应的函数最值易求，故用最值法.解析：原不等式可化为：0对恒成立，设=()=，对称轴=且离2远，故=2时，=，要使0对恒成立，只需=0即可，