清华大学 计算流体力学讲义 第二章 理论基础(3).doc

2-3、差分格式稳定性分析法、一、 离散扰动的稳定性分析理论基础；误差传播特性；归纳法例； FTCS格式 设初始扰动（误差）为：则 为了使则要求 及再计算 当，误差分布可能出现的情况如下；m-1 m m1 m-1 m m1 （1） （2）m-1 m m1 （3）以此误差分布，从n时间步计算到时间步，并要求在时间层上： 这个最后条件，如第一步计算中，附加误差修正不过冲的条件即 。但“不过冲”与误差传播振幅不扩大的含义并不一致。二、 矩阵法（谱分析法）一个更严格的关于初值问题差分格式稳定性分析的方法是矩阵法。 解是一个解向量，经过后解的改变由 A是一个变换矩阵，分析变换矩阵的性质，讨论解的性质变化。（仍讨论上述的例子） 但 为了满足的最大值，经矩阵相乘后，其幅度不增大，从线性代数的分析可知，其必要条件是：矩阵的谱半经不大于1；（谱半径的定义是，矩阵的所有特征值中的绝对值的最大值。）一致有界的充要条件是A的谱半经设：A的特征值为； 相应的特征向量； （m=1,2,，J-1） 由此递推; l 线性代数中关于求三对角矩阵特征值的定理：设矩阵A为M阶的三对角矩阵，即：则A的特征值为 利用该定理，A的特征值是： 三,Von. Neumann稳定性分析性, 基本思想: 分析差分数值解的耗散特性,判断数值解的是否有界的特性；(或曰差分方程对误差的传播性质) 初始解(初始误差)利用Fourier展开成Fourier级数 线性问题中,通过分析任意一个Fourier分量解的性质特性; 数值解有界（或初始误差在传播过程中不扩大），则要求层间放大因子（放大矩阵） 要求解有界：所以 ，放大矩阵（因子）一致有界性 若：G为复数，则： G为矩阵 此处引入的层间放大因子故可设 等。例1； Lax-Wendroff格式 由 即： 容易解出 是的必要条件，即Von-Neumann分析的稳定性条件是。例2、FTCS格式； 设: 代入整理，并求得到 2s10在复平面上是表示实半轴为2S，虚半轴为C的椭圆 要求即所有椭圆上的点均应在单位园之内。 显然应： 另对于椭圆： 其顶点的曲率半经分别为； 故还应有： 若引入网格雷诺数的概念 则由： 例： 则 则 *此处提请注意而不是有些参考书上所说的在运用此格式求解Burgers 方程时,对于数值解是否出现振荡的问题是关键的，伪振荡显然是不希望;但在，的条件下，FTCS格式将产生伪振荡。伪振荡并非数值计算的不稳定！其实质是格式的非单调性所引起的。若 将格式写成： 当，格式是单调的（见单调格式一样）而 时，格式是非单调的。可能出现数值解的伪振荡。例：定解条件如下： 初值： 边值：简单地，选用11个网格布局，第一个时间步时，仅有第10个网格点地值为非零。 因： 则 例 c=0.4 s=0.1 继续计算 The wiggles will eventually propagate to the other boundary but will remain bounded throughout the iteration to steady state. The oscillations that occur in this case are similar to the oscillations which appear when a second-order (or higher ) scheme in used to solve the inviscid Burgers equation for a propagating discontinuity.例3,方程组问题的稳定性分析 Lax-Wendroff格式： 写成向量 稳定条件： 即 求G的特征值 时 若 为稳定性条件例4；非线性问题的局部线化稳定性分析 非线性方程差分方程可由守恒或非守恒方程出发写出；等价守恒方程为 预测步 校正步： 或直接由非守恒方程出发，采用MacCormack格式； step P； step C； 由于Von-Neumawm稳定性分析只能针对线性问题，上述格式中或必须将它当成常数才能进行分析；为此取等于 中绝对值较大的一个，并保留原符号；并类似地记： （C可正可负）， 将非线性问题局部线化（或称时间上冻结非线性项），则稳定分性分析的问题成为；（改写成三步形式）step p: step c: step 3: step p 用Von-Neumann分析，得 step c step 3 无稳定性问题.所以： 故若有 则若分别考虑step 1 和step 2的稳定要求:由,采用复平面上与单位园的对比条件可知要求(不失一般性，令c0); 实半轴： 虚半轴： 端点曲率比较： 归纳为由 复平面上的要求是； 综合，不等式右侧部分 较严格的要求是， 左侧部分较严格的要求是； 例5、 关于MacCormack 格式稳定性条件更精确的讨论 在计算条件下满足,为此将G1G2的关系代入G 记： 进一步计算可得其中 的充分必要条件是(1).讨论必要条件；由以上要求，则至少必须在两端点上满足： ，分别讨论： （符合要求） 上式方括号中，记（并求根）则有 上式二次项的系数为正，所以二次抛物线的开口向上，（如图） X1X2 从图中可看出，要求则要求 ； 即：进一步将证明，只要均满足小于等于零，并且在的区间内无极大值点，则可以保证恒有，从而条件是稳定的必要条件。结论是当时在内无极大值点， 是稳定的必要条件 证明； 退化为二次多项式，可求极值的位置在 内无极值；可求出由 解出两个根可以写成为： 其中 ； 并且有： 即对应为极小值， 对应于极大值。另外由表达式可出 即 （即极大值的位置在负半轴）所以再0,2 区间无极大值。证毕。四）Hirt的稳定性分析方法 基本思想：利用双曲型方程的CFL条件(差分格式收敛的必要条件)来推断稳定性条件.例;方程FTCS格式;利用展开,写出修正方程 解析延拓