走向高考,贾凤山,高中总复习,第2篇.ppt

第三讲平面向量的数量积 重点难点重点 平面向量的数量积及其几何意义 数量积的性质及运算律 数量积的坐标表示 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度 角度和垂直的问题 难点 平面向量数量积的应用 知识归纳 1 向量数量积的定义 1 向量a与b的夹角当时 a与b垂直 记作a b 当 0时 a与b同向 当 时 a与b反向 2 a与b的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 我们把数量叫做a与b的数量积 或内积 记作a b 并规定零向量与任一向量的数量积为0 a b cos 3 如图 过B作BB1垂直于直线OA 垂足为B1 则OB1 叫做向量b在a方向上的投影 b cos 当 为锐角时 如图 甲 它是正值 当 为钝角时 如图 乙 它是负值 当 为直角时 如图 丙 它是0 当 为0 时 它是 b 当 为180 时 它是 b 4 平面向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度 a 与b在a方向上的投影 b cos 的乘积 2 向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2或 a 3 向量数量积的运算律 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b 3 a b c a c b c 4 平面向量数量积的坐标表示 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 4 设a x1 y1 b x2 y2 且a b都是非零向量 则a b a b 0 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 误区警示1 若a b 0 a 0不一定有b 0 因为当a b时 总有a b 0 2 对于实数a b c 当b 0时 若ab bc 则a c 但对于向量a b c 当b 0时 由a b b c却推不出a c 因为由a b b c得b a c 0 只要a c与b垂直即可 3 数量积不满足结合律 即对于向量a b c a b c a b c 这是因为a b与b c都是实数 a b c与c共线 a b c 与a共线 而c与a却未必共线 4 若 则a在b方向上的投影为 a cos b在a方向上的投影为 b cos 应注意区分 解题规律夹角及垂直问题 1 若向量a x1 y1 与向量b x2 y2 的夹角为 2 当a b都是非零向量时 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 例 如图所示 在 AOB中 若A B两点坐标分别为 2 0 3 4 点C在AB上 且平分 BOA 求点C的坐标 解析 设点C坐标为 x y 由于cos AOC cos BOC 且 例1 08 江苏 已知向量a与b的夹角为120 a 1 b 3 则 5a b 分析 由 a 与 b 及夹角可求a b 进而可求 5a b 2 09 辽宁 平面向量a与b的夹角为60 a 2 0 b 1 则 a 2b 解析 a 2 a 2b 2 a2 4a b 4b2 4 4 2 1 cos60 4 12 12 a 2b 答案 B 方法2 排除法 D中y 0不合题意 C不是单位向量 舍去 代入A 不合题意 故选B 09 江西 已知向量a 3 1 b 1 3 c k 2 若 a c b 则k 解析 a c 3 k 1 b 1 3 a c b 1 3 k 1 3 0 k 0 答案 0 例3 已知向量a cos15 sin15 b sin15 cos15 则 a b 的值为 已知a与b的夹角为 定义a b为a与b的 向量积 a b是一个向量 它的长度 a b a b sin 若u 2 0 u v 1 则 u u v 例4 已知a b是非零向量 若a 3b与7a 5b垂直 a 4b与7a 2b垂直 试求 a与b的夹角 分析 求a b的夹角 可利用公式a b a b cos 利用题设中的垂直条件 可得 a b 的方程组求得 a b 的关系 将它代入公式求出 的值 由 得46a b 23b2 0 所以b2 2a b 将它代入 得a2 2a b a b 所以由b2 2a b可知 b 2 2 a b cos 所以cos 所以 60 即所求的向量a b夹角为60 方法2 由条件知 15 8得 a b 由 得7 a 2 16 a b cos 15 b 2 0 7 16cos 15 0 cos 0 180 60 即向量a与b夹角为60 已知向量a 3 4 b 2 1 如果向量a b与向量 b互相垂直 则实数 的值为 解析 a b 3 4 2 1 3 2 4 b 2 1 a b b 2 3 2 4 0 故选D 答案 D 例5 已知a cos sin b cos sin 且 ka b a kb k 0 1 用k表示a b 2 求a b的最小值 并求此时a与b的夹角 解析 1 由已知得 ka b 2 3 a kb 2 即k2 a 2 2ka b b 2 3 a 2 2ka b k2 b 2 k2 8ka b 1 3 1 k2 点评 向量知识与三角 数列 不等式 解析几何 函数等的结合是高考命题的主要方向 向量平行或垂直的条件是结合的主要方面 一 选择题1 文 设向量a 1 2 b 2 1 则 a b a b 等于 A 1 1 B 4 4 C 4D 2 2 答案 B 解析 a b 4 a b 1 1 a b a b 4 4 故选B 理 08 湖北 设a 1 2 b 3 4 c 3 2 则 a 2b c A 15 12 B 0C 3D 11 答案 C 解析 a 2b 5 6 c 3 2 a 2b c 5 3 6 2 3 2 若非零向量a b满足 a b b 则 A 2a 2a b B 2a a 2b D 2b a 2b 答案 C 解析 由已知 a b 2 b2 即2a b a 2 0 2a b 2 2a 2 4a b b 2 b 2 2 a 2符号不能确定 A B均不对 a 2b 2 2b 2 a 2 4a b a 2 2 a 2 a 2 0 故选C 4 文 已知向量a 1 2 b 0 1 设u a kb v 2a b 若u v 则实数k的值为 答案 B 解析 u 1 2 k 0 1 1 2 k v 2 4 0 1 2 3 又u v 1 3 2 2 k k 故选B 二 填空题5 文 08 北京 已知向量a与b的夹角为120 且 a b 4 那么b 2a b 的值为