走向高考贾凤山高中总复习第3篇.ppt

第四讲圆锥曲线的综合问题 理 重点难点重点 直线与圆锥曲线位置关系的判定 弦长与距离的求法难点 直线与圆锥曲线位置关系的判定 弦长与中点弦问题 知识归纳1 1 直线与圆 椭圆的方程联立后 消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程 可据判别式 来讨论交点个数 2 直线与双曲线 抛物线的方程联立后 消元得到一元二次方程可仿上讨论 但应特别注意 平行于抛物线的轴的直线与抛物线相交 有且仅有一个交点 平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点 但也不是相切 上述两种情形联立方程组消元后 二次项系数为0 即只能得到一个一次方程 2 直线与圆锥曲线相交弦长问题 1 斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 则所得弦长 P1P2 或 P1P2 其中求 x2 x1 与 y2 y1 时 通常作如下变形 x2 x1 y2 y1 使用韦达定理即可解决 2 当斜率k不存在时 直线为x m的形式 可直接代入求出交点的纵坐标y1 y2得弦长 y1 y2 误区警示1 如果在设直线方程时涉及斜率 要注意斜率不存在的情形 为了避免讨论 过焦点F c 0 的直线 可设为x my c 于x的方程ax2 bx c 0 这时要考虑a 0和a 0两种情况 对双曲线和抛物线而言 一个公共点的情况要考虑全面 除a 0 0外 当直线与双曲线的渐近线平行时 只有一个交点 当直线与抛物线的对称轴平行时 只有一个交点 一 向量法向量的坐标可以用其起点 终点的坐标表示 因此向量与解析几何保持着天然的联系 通过向量的坐标可以把解析几何的很多问题向量化 利用向量的共线 垂直 夹角 距离等公式巧妙地解决解析几何问题 例1 文 如图所示 已知P 2 1 过点P的直线与圆O x2 y2 25交于A B两点 求弦AB中点M的轨迹方程 当M与O P重合时 点O 0 0 P 2 1 符合上述方程 点M的轨迹方程为x2 y2 2x y 0 理 如图所示 给出定点A a 0 a 0 和直线l x 1 B是直线l上的动点 BOA的平分线交AB于点C 求点C的轨迹方程 2 代入 1 得 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a 当b 0时 AOB 点C 0 0 也适合上式 综上可知点C的轨迹方程是 1 a x2 2ax 1 a y2 0 0 x a 二 涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题 即中点弦问题 时 常用根与系数的关系及点差法求解 例2 P 1 1 为椭圆 1内的一定点 过P点引一弦 与椭圆相交于A B两点 且P恰好为弦AB的中点 如图所示 求弦AB所在的直线方程及弦AB的长度 解析 设弦AB所在的直线方程为y 1 k x 1 A B两点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 得 x1 x2 x1 x2 2 y1 y2 y1 y2 0 P 1 1 为弦AB的中点 x1 x2 2 y1 y2 2 所求直线的方程为即x 2y 3 0 将其代入椭圆方程整理得 6y2 12y 5 0 根据弦长公式 有 点评 点差法的一个基本步骤是 点A x1 y1 B x2 y2 都在圆锥曲线f x y 0上 f x1 y1 0 f x2 y2 0 两式相减f x1 y1 f x2 y2 0 然后变形构造出及x1 x2和y1 y2 再结合已知条件求解 三 要重视解题过程中思想方法的提炼及解题规律的总结1 方程思想解析几何题大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线 因此直线与圆锥曲线相交的弦长问题常归纳为对方程解的讨论 利用韦达定理进行整体处理 以简化解题运算量 2 函数思想对于圆锥曲线上一些动点 在变化过程中会引入一些相互联系 相互制约的量 从而使一些线段的长度及a b c e p之间构成函数关系 函数思想在处理这类问题时就很有效 3 坐标法坐标法是解析几何的基本方法 因此要加强坐标法的训练 4 对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质 所以可使分散的条件相对集中 减少一些变量和未知量 简化计算 提高解题速度 促成问题的解决 5 数形结合解析几何是数形结合的曲范 解决解析几何问题应充分利用图形的直观和曲线的几何性质 才能简化解答过程 6 参数思想大多解析几何问题 在解题活动中可先引入适当的参数 如斜率k 点的坐标 圆锥曲线方程中的系数等 把所研究问题转化为参数的函数或不等式 方程等来解决 例1 已知直线l1为曲线y x2 x 2在点 1 0 处的切线 l2为该曲线的另一条切线 且l1 l2 1 求直线l2的方程 2 求由直线l1 l2和x轴所围成的三角形的面积 解析 1 y 2x 1 l1的斜率k1 3直线l1的方程为y 3x 3 设直线l2过曲线y x2 x 2上的点B b b2 b 2 则l2的方程为y 2b 1 x b2 2 因为l1 l2 则有所以直线l2的方程为 所以直线l1和l2的交点的坐标为 l1 l2与x轴交点的坐标分别为 1 0 所以所求三角形的面积S 例2 已知椭圆的焦点为F1 3 0 F2 3 0 且与直线x y 9 0有公共点 求其中长轴最短的椭圆方程 解析 解法1 设椭圆方程为与直线x y 9 0联立并消去y得 2a2 9 x2 18a2x 90a2 a4 0 根据题意 18a2 2 4 2a2 9 90a2 a4 0 解得a2 45或a2 9 a2 9 a2 45 amin 此时椭圆的方程为 解法2 设直线与椭圆公共点为P 则 PF1 PF2 2a 由长轴最短知 问题可转化为在直线x y 9 0上求一点P 使P到两定点F1 F2距离之和为最小 点F1 3 0 关于直线x y 9 0的对称点为Q 9 6 则F2Q与直线x y 9 0的交点即为P点 且2a PF1 PF2 PQ PF2 QF2 6 a 3 又c 3 b2 a2 c2 36 椭圆方程为 1 已知双曲线焦点F1 0 F2 0 且与直线x y 1 0相交 则实轴最长的双曲线方程为 解析 设直线与双曲线交点为P 则 PF1 PF2 2a 由实轴最短知 问题转化为在直线x y 1 0上求一点P 使P到两定点F1 F2距离之差最大 点F1 0 关于直线x y 1 0对称点为M 1 1 则直线F2M与直线x y 1 0交点即为P点 且2a PF1 PF2 例3 若抛物线C y ax2 1 a 0 上有不同两点关于直线l y x 0对称 则实数a的取值范围是 解析 设点A x1 y1 B x2 y2 是抛物线C上关于直线l对称的两点 x1 x2 直线AB的方程为y x b x1 x2 方程 有两个不等实数根 1 4a 1 b 0 又设AB的中点为M x0 y0 由 得 例4 如图 某隧道设计为双向四车道 车道总宽22米 要求通行车辆限高4 5米 隧道全长2 5千米 隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状 1 若最大拱高h为6米 则隧道设计的拱宽l是多少 2 若最大拱高h不小于6米 则应如何设计拱高h和拱宽l 才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小 半个椭圆的面积公式为 柱体体积为 底面积乘以高 本题结果均精确到0 1米 解析 1 如图建立直角坐标系 则点P 11 4 5 椭圆方程为将b h 6与点P坐标代入椭圆方程得 a 此时l 2a 33 3 因此隧道的拱宽约为33 3米 例5 已知椭圆的中心为坐标原点O 焦点在x轴上 斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A B两点 与a 3 1 共线 1 求椭圆的离心率 2 设M为椭圆上任意一点 且 R 证明 2 2为定值 x1x2 3y1y2 x1 x2 3 x1 c x2 c 已知双曲线x2 y2 2的右焦点为F 过点F的动直线与双曲线相交于A B两点 点C的坐标是 1 0 1 证明为常数 2 若动点M满足 其中O为坐标原点 求点M的轨迹方程 解析 由条件知F 2 0 设A x1 y1 B x2 y2 1 当AB与x轴垂直时 由题意得点A 2 B 2 当AB不与x轴垂直时 设直线AB的方程是y k x 2 k 1 代入x2 y2 2得 1 k2 x2 4k2x 4k2 2 0 则x1 x2是上述方程的两个实根 于是 x1 1 x2 1 y1y2 x1 1 x2 1 k2 x1 2 x2 2 k2 1 x1x2 2k2 1 x1 x2 4k2 1 又因为A B两点在双曲线上 所以x y 2 x y 2 两式相减得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y2 y2 即 x1 x2 x 2 y1 y2 y 将y1 y2 x1 x2 代入上式 化简得x2 y2 4 当AB与x轴垂直时 x1 x2 2 求得M 2 0 也满足上述方程 所以点M的轨迹方程是x2 y2 4 一 选择题1 09 全国 已知直线y k x 2 k 0 与抛物线C y2 8x相交于A B两点 F为C的焦点 若 FA 2 FB 则k 答案 D 解析 过A B作抛物线准线l的垂线 垂足分别为A1 B1 由抛物线定义可知 AA1 AF BB1 BF 又 2 BF AF AA1 2 BB1 即B为AC的中点 从而yA 2yB 2 09 天津 设抛物线y2 2x的焦点为F 过点M 0 的直线与抛物线交于A B两点 与抛物线的准线相交于点C BF 2 则 BCF与 ACF的面积之比 答案 A 解析 如图过A B作准线l x 的垂线 垂足分别为A1 B1 由于F到直线AB的距离为定值 3 山东郓城 已知对k R 直线y kx 1 0与椭圆 1恒有公共点 则实数m的取值范围是 A 0 1 B 0 5 C 1 5 5 D 1 5 答案 C 解析 直线y kx 1过定点 0 1 只要 0 1 在椭圆 1内部即可 从而m 1 又因为椭圆 1中m 5 m 1 5 5 二