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7 4平面与直线方程 一平面方程的各种形式二直线方程的各种形式三平面直线间的夹角及相互关系 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法向量 已知平面的法向量为 设平面上的任一点为 必有 1平面的点法式方程 且过点 一平面方程的各种形式 平面的点法式方程 解 所求平面方程为 化简得 例1求过三点 和 的平面方程 由平面的点法式方程 2平面的一般方程 法向量 平面一般方程的几种特殊情况 平面通过坐标原点 平面通过轴 平面平行于轴 平面平行于坐标面 类似地可讨论情形 类似地可讨论情形 坐标面 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 例2求过点 且垂直于平面 和 的平面方程 设平面为 所求平面方程为 解 例3设平面过原点及点 且与平面 垂直 求此平面方程 设平面为 将三点坐标代入得 解 例4设平面与 三轴分别交于 其中 求此平面方程 代入所设方程得 平面的截距式方程 轴上截距 轴上截距 轴上截距 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 解 例5求平行于平面 坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程 而与三个 所求平面方程为 则据题意有 解 例6设 是平面 外一点 求 到平面的距离 空间直线可看成不平行两平面的交线 1空间直线的一般方程 二直线方程的各种形式 如果一非零向量平行于一条已知直线 这个向量称为这条直线的方向向量 2空间直线的对称式方程 设直线过点 方向向量为 为直线上任意一点 直线的对称式方程 点向式 标准式 令 解 所求直线的方向向量为 所求直线方程为 3空间直线的参数方程 则有 例8将直线 解 化为对称式与参数式方程 直线的方向向量为 解得 因此得到直线上一点 直线的对称式方程为 参数方程为 解 所以交点为 所求直线方程为 例9一直线过点 且和 轴垂直相交 求其方程 定义 取锐角 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角 1两平面的夹角 三平面直线间的夹角及相互关系 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征 直线 直线 两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角 取锐角 两直线的夹角公式 2两直线的夹角 两直线的位置关系 3直线与平面的夹角 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系 解 为所求夹角 例10设直线 平面 求直线与平面的夹角 解 例11求过点 且与直线 则 又 因此有 取所求直线的方向向量为 所求直线方程为 4平面束方程 定义 通过定直线的所有平面的全体称为平面束 3 但是方程 3 不包含平面 2 解 过已知直线的平面束方程为 所求平面过点 所求平面方程为 例12 求过直线 和点 的 平面方程 即 所以 即 例13
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