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第八章 练习题1、 求下列极限：（1）； 解： （2）. 又 2、设 ,证明：在点（0，0）处连续且偏导数存在，但不可微分。证明：1） 又 所以 ，在点（0，0）处连续。2）同理： 所以在点（0，0）处偏导数存在。3) 因 当时，上式极限不存在.(取路径)因此，在处不可微.3、设 ， 求: 解： 4. 设，求解： 5、试求曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的距离之和等于.解:设则曲面上任意点处切平面的法向量:切平面方程：即 所以 所以 6、求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点解 设所求点为，与面距离为：构造拉格郎日函数：联立 得点:由题意知,所求点为7、在“充分”、“必要”、和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)在点可微分是在该点连续的 （充分） 条件. 在点连续是在该点可微分的（ 必要 ）条件.(2) 在点的偏导数存在是在该点可微分的（ 充分 ） 条件. 在点可微分是函数在该点的一阶偏导数存在的（ 充分 ） 条件.（3）的偏导数在点存在且连续是在该点可微分的 （ 充分 ） 条件.（4）函数的两个二阶混合偏导数在D内连续是其相等的 （ 充分 ）条件。8、求函数的定义域 , 并求.解：定义域： 9、求下列函数的一阶和二阶偏导数:（1） 解： (2) 解：10、设都是可微函数, 求 :.解：11、设具有连续偏导数,而, 求: .解： 12、设其中具有连续的二阶偏导数, 求 : .解 13、设, 求 : .解：方程组两边分别对求偏导 同理： 14、求螺旋线在点处的切线及法平面方程.解： 点对应 点处的切线方程：法平面方程： 15、在曲面上求一点,使这点处的法线垂直于平面,并写出这条法线的方程.解：已知平面的法向量为： 曲面在点处法线的方向向量为：由题意知 ，得所求点为 ：，该点处法线方程为：16、设轴正向到方向的转角为，求函数在点（1，1）沿方向的方向导数，并分别确定转角，使这导数有:（1）最大值； （2）最小值； （3）等于0.解：当取最大值；当取最小值 -；当，取值为17、求由确定的函数的极值.解：由隐函数求偏导得：令： 得驻点：（1，-1）.代入： 得：.在点（1，-1，-
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