概率4.2.ppt

4 2中心极限定理 正态分布是概率论中最重要的分布 它是自然界中最常见的 在实际问题中经常遇到的许多随机变量都服从或近似服从正态分布 也就是说 服从正态分布的随机变量广泛存在 如何解释这种客观存在的规律性呢 中心极限定理 就从不同的侧面给出了 什么样的随机变量及其函数 服从正态分布或近似服从正态分布 概率论中关于论证 大量独立随机变量的和的极限分布是正态分布 的一系列定理 统称为 中心极限定理 中心极限定理也是数理统计中关于大样本统计推断的理论依据 定理1 Lindeberg Levy林德柏格 列维 并且方差全不为零 即 则对于任何实数 有下式成立 设随机变量相互独立 服从相同的分布 数学期望都存在且相等 说明 如果被研究的随机变量Y可以表示为大量独立同分布的随机变量的和 其中每个随机变量对总和Y只起微小的作用 不管它服从什么分布 当随机变量个数足够多时 可以认为这个随机变量Y实际上是服从或近似服从正态分布的 即 比如 在进行某种观测时 不可避免地会有许多随机因素影响观测结果 产生误差 有些误差是由测量仪器的精密度引起的精密度可以在温度 大气压力或其它因素的影响下改变着 有些误差是属于观测者的个人误差大都由于观测者的视觉 听觉等引起的 等等 所有这些因素中的每一个都可能使观测结果产生很小的误差 然后由所有这些误差共同影响着观测结果 于是我们就得到一个 总的误差 因此 实际观察得到的误差可以看作是一个随机变量 它是许多数值微小的独立随机变量的总和 按 中心极限定理 这个随机变量 总误差 应服从或近似服从正态分布 例1设有30个电子元件其寿命分别为 都服从参数0 1 h 的指数分 即它们的使用情况如下 当损坏后立即使用求 这批元件使用的总计时间不小于350h的概率 由中心极限定理 故 元件使用的总计时间T不小于350h的概率近似等于18 14 定理2德莫弗 拉普拉斯 De Moivre Laplace 设随机变量服从二项分布 有下式成立 则对于任何实数 证 可表示成独立同分布的随机变量之和 1 定理2表明 当n充分大时 服从二项分布的随机变量近似地服从正态分布 近似服从标准正态分布 2 标准变换后的随机变量 3 定理揭示了离散型与连续型随机变量之间的内在联系 当p很小 n很大 时 用泊松分布近似比较好 否则 用正态分布去近似 说明 当n充分大时 有 设 例2计算机在进行加法运算时 有时要对每个加数取整 取最接近它的整数 设所有取整误差都是相互独立的 且都在 0 5 0 5 上服从均匀分布 1 若进行1500个数的加法运算 问误差总和绝对值超过15的概率多大 2 进行多少个数的加法运算 才能使得误差总和绝对值小于10的概率为0 9 解设每个数的取整误差为 其概率密度都是 2 设加数的个数为n 由题意要求n使 即 查表 例3某车间有200台车床 它们工作的状况是相互独立的 开工时每台车床耗电都是1千瓦 由于换刀具和测量等原因车床不是总在运转着 实际上每台车床开工率仅为60 问供电部门至少供给车间多少电力才能以99 9 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产 解由题意 观察200台车床中工作着的车床数X B 200 0 6 分布 设供给车间电力为m千瓦 则问题成为要求m 使 例4世界原油每桶价格每天的变化是均值是0 方差是2的随机变量 单位 美元 即其中表示第n天每桶原油的价格 均值是0 方差是2的独立同分布随机变量序列 如果今天原油每桶价格为27美金 求18天后每桶原油价格在23 31美元之间的概率 由定理1知 例5证明由棣莫弗 拉普拉斯定理可以推出伯努利大数定律 解由棣莫弗 拉普拉斯定理 例6从一大批废品率为3 的产品中抽取1000个 用中心极限定理 求废品数X在20至40之间的概率 由中心极限定理 例7有1万人参加一保险公司某一种平安保险 参加保险的人每年交10元的保险费 出事故时由保险公司支付理赔费5000元 若在一年中每个投保者出事故的概率以0 0003计 求 1 保险公司在一年中该项保险的利润不少于70000元的概率 2 保险公司设立该项险种亏本的概率 解记X为参加该项保险的10000人在一年中出事故的人数 则 由于n 10000很大 且 据中心极限定理 1 该保险公司的收入为 支付理赔费5000X元 于是 利润为100000 5000X 故 利润不少于70000元的概率为 2 保险公司亏本意味着理赔大于收益 即 可见 保险公司设立该项险种几乎不会亏本 中心极限定理小结 中心极限定理论证了 大量原本不服从正态分布的独立随机变量的和的分布近似地服从正态分布 一般说来 这些随机变量受大量独立的因素影响 而每项因素的影响是微小的 并且没有一项因素的影响是特别突出时 我们就可以断言 其和的分布渐近于服从正态分布 中心极限定理也是数理统计中关于大样本统计推断的理论依据 值得注意的是 1 虽然中心极限定理与大数定律 近似服从标准正态分布 其标准化随机变量 当n充分大时的分布近似服从 依分布收敛 即也是随机变量 的极限行为 但中心极限定理研究的是 都是研究独立随机变量序列和 即的分布函数满足 对任意的x 均有 2 一般说来 大数定律与中心极限定理之间没有确定的关系 也就是说服从大数定律时 可能不服从中心极限定理 反之 依然 然而在独立同分布的场合 存在大于0的有限方差时 大数定律与中心极限定理同时成立 但大数定律不如中心极限定理精确 大数定