中考数学复习代数与几何综合问题的基本类型和解题策略第四节存在性问题试题.docx

第四节存在性问题中考重难点突破)这类问题是近几年来各地中考的“热点”解决存在性问题就是：假设存在推理论证得出结论若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点这类题型对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查【例】(2016汇川中考模拟)抛物线yx2x2与x轴交于A，B两点(OAOB)，与y轴交于点C.(1)求点A，B，C的坐标；(2)点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒(0t2)过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D(如图所示)，当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；在满足的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【学生解答】解：(1)在抛物线的解析式中，令y0，即x2x20，解得：x12，x24，OAOB，A(2，0)，B(4，0)，在抛物线的解析式中，令x0，得y2，C(0，2)；(2)由题意得：OP2t，OEt，DEOB，CDECBO，即，DE42t，0t0)与x轴交于点C，D两点(点C在点D的左侧)，在直线ykx1上是否存在唯一一点Q，使得OQC90？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由解：(1)当k1时，抛物线的解析式为yx21，直线的解析式为yx1.联立两个解析式，得x21x1，解得：x1或x2，当x1时，yx10；当x2时，yx13，A(1，0)，B(2，3)；(2)设P(x，x21)如图(1)所示， 过点P作PFy轴，交直线AB于点F，则F(x，x1)PF(x1)(x21)x2x2.SABPSPFASPFBPF(ANBM)PF(注：AN、BM是两个三角形的高)，SABP(x2x2)，当x时，yx21.ABP面积最大值为，此时点P坐标为；(3)设直线AB：ykx1与x轴、y轴分别交于点E，F，则E，F(0，1)，OE，OF1.在RtEOF中，由勾股定理得：EF.令yx2(k1)xk0，即(xk)(x1)0，解得xk或x1.C(k，0)，OCk.设以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时OQC90.设点N为OC中点，连接NQ，如图(2)所示，则NQEF，NQCNON.ENOEON.NEQFEO，EQNEOF90，EQNEOF，即，解得k，k0，k.当k时，存在唯一一点Q，使得OQC90.2(2016遵义十一中三模)如图所示，抛物线yax2bxc经过原点O，与x轴交于另一点N，直线ykx4与两坐标轴分别交于A，D两点，与抛物线交于B(1，m)，C(2，2)两点(1)求直线与抛物线的解析式；(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设PON，求当PON的面积最大时tan的值(3)若动点P保持(2)中的运动路线，问是否存在点P，使得POA的面积等于PON面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)直线解析式为yx4，抛物线解析式为y2x25x；(2)tan；(3)存在P(1，3)中考真题区3(2015黔东南中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.(1)求b，c的值；(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；(3)是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由解：(1)c4，b；(2)AOPPEB90，OAP90APOEPB，AOPPEB，且相似比为2，AO4，PE2，OEOPPEt2，又DEOA4，点D的坐标为(t2，4)，点D落在抛物线上时，有(t2)2(t2)44，解得t3或t2，t0，t3，故当t为3时，点D落在抛物线上；(3)存在t，能够使得以A，B，D为顶点的三角形与AOP相似理由如下：当0t8时，若POAADB，则，即整理，得t2160，t无解，若POABDA，同理，解得t22(负值舍去)；当t8时，若POAADB，则，即，解得t84(负值舍去)；若POABDA，同理，解得t无解综上所述，当t22或t84时，以A，B，D为顶点的三角形与AOP相似4(2016山西中考)综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(2，0)，(6，8)(1)求抛物线的函数解析式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE? 若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形解：(1)抛物线解析式为yx23x8，yx23x8(x3)2，抛物线的对称轴为直线x3，又抛物线与x轴交于点A，B两点，点A坐标(2，0)，点B的坐标为(8，0)设直线l的解析式为ykx，经过点D(6，8)，6k8，k，直线l的解析式为yx，点E为直线l与抛物线对称轴的交点，点E的横坐标为3，纵坐标为34，点E的坐标(3，4)；(2)抛物线上存在点F使得FOEFCE，此时点F纵坐标为4，x23x84，x26x80，x3，点F坐标(3，4)或(3，4)；图1(3)如图1中，当OPOQ时，OPQ是等腰三角形点E坐标(3，4)，OE5，过点E作直线MEPB，交y轴于点M，交x轴于点H.则，OMOE5，点M坐标(0，5)设直线ME的解析式为yk1x5，3k154，k1，直线ME的解析式为yx5，令y0，得x50，解得x15，点H的坐标(15，0)，MHPB，即，m；图2如图2中，当QOQP时，POQ是等腰三角形当x0时，yx23x88，