随机事件及其概率.ppt

通俗地讲随即事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的事件 定义1 2随机试验的若干个基本结果组成的集合称为随机事件 简称事件 只含有一个基本结果的事件称为基本事件 常用大字母A B C 表示 根据这两说法不难发现随即事件和样本空间的子集有一一对应关系 1 2 1随机事件 1 2随机事件及其概率 第1章概率论基础 它们分别可以对应了样本空间S 1 2 3 4 5 6 的子集 1 2 3 4 和 2 4 6 点数不大于4 点数为偶数 等都为随机事件 反过来 的每个子集都对应了该试验的一个随机事件 1 2 1随机事件 关于随机事件概念的几点说明 1 任一事件A是相应样本空间的一个子集 基本事件就是只含有一个样本点的事件 2 当子集A中某个样本点出现了 就说事件A发生了 或者说事件A发生当且仅当A中某个样本点出现了 3 样本空间 包含所有的样本点 作为自身的子集 在每次试验中它总是发生的 称为必然事件 空集 不包含任何样本点 它作为样本空间的子集 在每次试验中都不发生 称为不可能事件 1 2 1随机事件 例1 2 掷一颗骰子的样本空间为 1 2 3 4 5 6 事件A 出现5点 它是一个基本事件 可记为A 5 事件B 出现奇数点 可记为B 1 3 5 事件C 出现的点数不大于6 是必然事件 可记为C 事件D 出现的点数大于6 是不可能事件 可记为D 1 2 1随机事件 1 2 2事件间的关系及运算1 事件间的关系 1 子事件如果属于事件A的样本点也属于事件B 则称A为B的子事件 记为A B 其概率含义是 A发生B必发生 2 事件相等如果事件A与事件B满足 A B且B A 则称A与B相等 记为A B 其概率含义是 A B中有一个发生另一个也必发生 1 2随机事件及其概率 3 互不相容如果事件A和B没有相同的样本点 则称A与B互不相容 或互斥 其概率含义是 A B不同时发生 实例抛掷一枚硬币 出现正面 与 出现反面 是互不相容的两个事件 1 2 2事件间的关系及运算 2 事件运算1 事件A与B的和事件A与B的和事件定义为 由至少属于A B之一的样本点全体组成的集合 记为A B 其概率含义是 A B至少有一个发生 实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定 若C 产品不合格 B 长度不合格 与A 直径不合格 则C A B 图示事件A与B的和 A 1 2 2事件间的关系及运算 1 2 2事件间的关系及运算 2 事件A与B的积事件A与B的积事件定义为 由既属于A又属于B的样本点组成的集合 记为A B或AB 其概率含义是 事件A与B同时发生 事件A与B互不相容当且仅当其积事件为不可能事件 即AB 1 2 2事件间的关系及运算 图示事件A与B的积事件 A B AB 实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定 设 产品合格 长度合格 直径合格 1 2 2事件间的关系及运算 3 事件A与B的差 由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差 记作A B 图示A与B的差 A B 实例设 长度合格但直径不合格 长度合格 直径合格 1 2 2事件间的关系及运算 4 对立事件由在 中而不在A中的样本点组成的集合称为A的对立事件 逆事件 记为其概率含义是 A不发生 显然 实例 骰子出现1点 骰子不出现1点 图示A与B的对立 B 若A与B对立 则有 1 2 2事件间的关系及运算 对立事件与互斥事件的区别 B A B对立 互逆 A B互斥 互不相容 互斥 对立 1 2 2事件间的关系及运算 3 事件运算满足的定律事件的运算性质和集合的运算性质相同 设A B C为事件 则有交换律 A B B A AB BA 结合律 A B C A B C AB C A BC 分配律 对偶律 1 2 2事件间的关系及运算 补充例 设A B C表示三个随机事件 试将下列事件用A B C表示出来 A 1 A发生 且B与C至少有一个发生 2 A与B发生 而C不发生 3 A B C中恰有一个发生 4 A B C中至少有两个发生 5 A B C中至多有两个发生 6 A B C中不多于一个发生 B C AB ABC不发生 1 2 2事件间的关系及运算 课堂练习 填空以 表示事件 甲产品畅销 乙产品滞销 其对立事件为 甲滞销 乙畅销 甲乙均畅销 甲滞销 甲滞销或乙畅销 1 2随机事件及其概率 解设 甲畅销 乙畅销 则故 的对立事件为 即 甲滞销或乙畅销 1 2随机事件及其概率 1 2 3事件的概率及性质所谓随机事件的概率 概括地说就是用来描述随机事件发生的可能性大小的数量指标 它是概率论中最基本的概念之一 1 2随机事件及其概率 1 频率与概率的统计定义首先看频率的概念 定义1 3设E为任一随机试验 A为其中任一事件 在相同条件下 把E独立的重复做n次 nA表示事件A在这n次试验中发生的次数 称为频数 比值fn A nA n称为事件A在这n次试验中发生的频率 频率有如下性质 1 对于任一事件A 有0 fn A 1 2 对于必然事件 有fn 1 3 对于互不相容的事件A B 有fn A B fn A fn B 1 2 3事件的概率及性质 试验序号 1234567 2 3 15124 22 25 21 25 24 18 27 251 249 256 247 251 262 258 0 4 0 6 0 2 1 0 0 2 0 4 0 8 0 44 0 50 0 42 0 48 0 36 0 54 0 502 0 498 0 512 0 494 0 524 0 516 0 50 0 502 实例将一枚硬币抛掷5次 50次 500次 各做7遍 观察正面出现的次数及频率 波动最小 随n的增大 频率f呈现出稳定性 1 2 3事件的概率及性质 试验者 德摩根 蒲丰 历史上一些概率统计学家的试验 1 2 3事件的概率及性质 从上述数据可得 抛硬币次数n较小时 频率f的随机波动幅度较大 但随n的增大 频率f呈现出稳定性 即当n逐渐增大时频率R总是在0 5附近摆动 且逐渐稳定于 5 1 频率有随机波动性 即对于同样的n 所得的f不一定相同 1 2 3事件的概率及性质 概率的统计定义定义1 4设有随机试验E 若当试验的次数n充分大时 事件A发生的频率fn A 稳定在某数p附近波动 则称数p为事件A的概率 记为 P A p 概率的统计定义只是描述性的 一般不能用来计算事件的概率 1 2 3事件的概率及性质 根据频率和概率的关系以及理论研究的需要 受频率性质的启发 1933年 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 给出了概率的严格定义 使概率论有了迅速的发展 Born 25Apr 1903inTambov Tambovprovince RussiaDied 20Oct 1987inMoscow Russia AndreyNikolaevichKolmogorov 1 2 3事件的概率及性质 2 概率的公理化定义与性质定义1 5设 是一随机试验的样本空间 对于该随机试验的每一个事件A赋予一个实数 记为P A 称为事件A的概率 如果集合函数P 满足下列公理 1 非负性 对于每一个事件A 有P A 0 2 规范性 对于必然事件 有P 1 3 可列可加性 设A1 A2 是两两互不相容的事件 即对于i j AiAj i j 1 2 则有 1 1 1 2 3事件的概率及性质 概率的公理化定义使概率论成为一门严格的演绎科学 取得了与其他数学学科同等的地位 在公理化的基础上 现代概率论不仅在理论上取得了一系列的突破 也在应用上取得了巨大的成就 利用概率的公理化定义 可以导出概率的一些性质 1 2 3事件的概率及性质 证明 由概率的可列可加性得 概率的性质 1 2 3事件的概率及性质 证明 由概率的可列可加性得 1 2 3事件的概率及性质 证明 1 2 3事件的概率及性质 证明 1 2 3事件的概率及性质 性质 对任意两个事件A B 有P A B P A P AB 证 因为A B A AB 且AB A 所以由性质4得 1 2 3事件的概率及性质 性质6 加法公式 对于任意两事件A B有P A B P A P B P AB 证 因A B A B AB 且A B AB 故由性质2及性质5得 1 2 3事件的概率及性质 推广三个事件和的情况 n个事件和的情况 1 2 3事件的概率