随机变量函数的分布.ppt

概率与统计第八讲随机变量函数的分布 主讲教师 于红香e mail fishr2001 一 问题的提出 在实际中 人们常常对随机变量的函数更感兴趣 求截面面积A 的分布 比如 已知圆轴截面直径d的分布 在比如 已知t t0时刻噪声电压V的分布 求功率W V2 R R为电阻 的分布等 设随机变量X的分布已知 Y g X 设g是连续函数 如何由X的分布求出Y的分布 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的 二 离散型随机变量函数的分布 解 当X取值1 2 5时 Y取对应值5 7 13 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件 两者具有相同的概率 故 如果g xk 中有一些是相同的 把它们作适当并项即可 一般地 若X是离散型r v X的分布律为 则Y X2的分布律为 三 连续型随机变量函数的分布 解设Y的分布函数为FY y FY y P Yy P 2X 8y P X FX 于是Y的密度函数 故 注意到0 x 4时 即8 y 16时 此时 Y 2X 8 EX 从上述两例中可以看到 在求P Y y 的过程中 关键的一步是设法从 g X y 中解出X 从而得到与 g X y 等价的X的不等式 这是求r v的函数的分布的一种常用方法 下面给出一个定理 在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 其中 x h y 是y g x 的反函数 定理设X是一个取值于区间 a b 具有概率密度f x 的连续型r v 又设y g x 处处可导 且对于任意x 恒有或恒有 则Y g X 是一个连续型r v 它的概率密度为 当y 0时 注意到Y X20 故当y0时 解设Y和X的分布函数分别为和 若 则Y X2的概率密度为 求导可得 若X fX x y g x 关于X分段严格单调 且在第i个单调区间上 反函数为hi y 则Y g X 的概率密度为 例 设随机变量X服从 0 2 均匀分布 求Y sin X 的概率密度 解 已知随机变量X的概率密度为 求 Y 1 X2的概率密度 EX 例5已知随机变量X的分布函数F x 是严格单调的连续函数 证明Y F X 服从 0 1 上的均匀分布 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数 其反函数F 1存在且严格递增 证明设Y的分布函数是G y 于是 对y 1 G y 1 对y 0 G y 0 由于 对0 y 1 G y P Y y P F X y P X y F y y 即Y的分布函数是 求导得Y的密度函数 可见 Y在 0 1 上服从的均匀分布 阶段小结 阶段练习 一 填空 1 设随机变量X服从参数为 2 p 的二项分布 随机变量Y服从参数 3 p 的二项分布 若 则P Y 1 2 设随机变量X服从 0 2 上的均匀分布 则随机变量Y X2在 0 4 内的密度函数为fY y 3 设随机变量X N 2 2 且P 2 X 4 0 3 则P X 0 三 某射手对靶射击 单发命中概率都为0 6 现他扔一个均匀的骰子 扔出几点就对靶独立射击几发 求他恰好命中两发的概率 二 一工人看管三台机床 在一小时内机床不需要工人照管的概率为第一台等于0 9 第二台等于0 8 第三台等于0 7 求在一小时内需要工人照管的机床台数的概率分布 四 某商店从早上开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间X 分 的分布函数是 求下列事件的概率 等待时间 1 至多3分钟 2 3分钟至5分钟之间 3 至多3分钟或至少5分钟 4 在开始营业3分钟没有顾客的条件下 顾客在以后的3分钟之内到达的概率 五 设保险公司为10件产品进行寿命保险 每件交纳10元保费 若产品在