随机变量的数字期望.ppt

高校理科通识教育平台数学课程 概率论与数理统计 讲授 孙学峰 随机变量的数字特征 第四章随机变量的数字特征 通常是指与随机变量有关的 虽然不能完整地刻划随机变量 但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值 4 1随机变量的数学期望 4 2随机变量的方差 4 3协方差和相关系数 本章内容 4 4矩与协方差矩阵 数字特征 4 1随机变量的数学期望 1 离散型随机变量的数学期望 引例有甲 乙两射手 他们的射击技术用下表给出 问题 已知随机变量的概率分布 如何计算其平均值 解 射击水平 一般用平均击中环数来反映 所以 只要对他们的平均击中环数进行比较即可 分析 若甲射击N次 设击中8环 9环和10环的次数分别为次 则甲在N次射击中 平均每次击中的环数为 由于概率是频率的稳定中心 以表示甲的平均击中环数 则 故认为甲射手的水平较高 由于 可以看出 平均值是以分布概率为权重的加权平均 定义设离散型随机变量X的概率分布为 P X xk pk k 1 2 3 若级数 则称级数和 为随机变量X的数学期望 或均值 记作E X 随机变量X的数学期望完全是由它的概率分布确定的 而不应受X的可能取值的排列次序的影响 因此要求 否则 称随机变量的数学期望不存在 解易知 例1设随机变量X的分布列为 求 若将此例视为甲 乙两队 比赛 甲队赢的概率为0 6 输的概率为0 4 并且甲队每赢一次得3分 每输一次扣1分 则E X 1 4是指甲队平均每次可得分 求随机变量X和Y的数学期望 于是有 解由 X Y 的联合分布律可得关于X Y的边缘分布分别为 例2设二维离散型随机变量 X Y 的联合概率分布表为 定理1设二维离散型随机变量 X Y 的联合概率分布为 则 证明关于X的边缘分布为 于是有 同理可得 定义设连续型随机变量X的概率密度为f x 若积分 说明 如果积分收敛 则称随机变量X的数学期望不存在 收敛 则称积分值为X的数学期望 或均值 记作E X 即 2 连续型随机变量的数学期望 试证X的数学期望不存在 证因为 例3设随机变量X服从柯西分布 其密度函数为 即不收敛 所以X的数学期望不存在 求X的数学期望 例4设在某一规定的时间内 一电气设备用于最大负荷的时间X 单位 min 是一个随机变量 概率密度函数为 解由已知可得 例5设二维连续型随机变量的概率密度函数为 解关于X Y的边缘概率密度函数分别为 求E X E Y 于是有 定理2设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度函数为f x y 则有 于是有 证关于X Y的边缘概率密度函数分别为 3 随机变量函数的数学期望 定理3设X是随机变量 Y g X 是X的连续函数 则有 1 若为离散型变量 其概率函数为 如果积分收敛 则有 2 如果X为连续型随机变量 其概率密度为f x 3 如果 X Y 为离散型随机向量 其联合概率分布为P X xiY yj piji j 1 2 3 如果则Z g X Y 的数学期望为 4 设二维随机向量 X Y 为连续型随机变量 它的联合概率密度为f x y 若收敛 则Z g X Y 的数学期望为 所以 其中 求 例6设随机变量 解 例7设二维随机变量 X Y 的密度函数为 求 解 求 例8设二维随机变量 X Y 的密度函数为 求 解 例9设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X 单位 t 是随机变量 它服从 1200 3000 上的均匀分布 若售出这种农产品1t 可赚2万元 但若销售不出去 则每吨需付仓库保管费1万元 问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润 解设每年准备该种商品yt 则利润为 得到平均利润为 当y 2400时 取到最大值 故每年准备此种商品2400t 可使平均利润达到最大 证可将C看成离散型随机变量 分布律为P X C 1 故由定义即得E C C 2 设C为常数 X为随机变量 则有E CX CE X 证设X的密度函数为 则有 3 设为任意两个随机变量 都有 1 设C为常数 则有E C C 4 数学期望的性质 3 设X Y为任意两个随机变量 都有 证设二维随机变量 X Y 的密度函数为 则 推广到任意有限多个随机变量之和的情形 有 4 数学期望的性质 4 设X Y为相互独立的随机变量 则有 证因为X与Y相互独立 故其联合密度函数与边缘密度函数满足 推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形 有 所以 解设随机变量 例10一民航机场的送客班车载有20位旅客 自机场开出 沿途旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车班车就不停 设每位旅客在各个车站下车是等可能的 且各旅客是否下车相互独立 以X表示停车的次数 求E X i 1 2 10 由题意 任一旅客在第i个车站不下车的概率为表示第i站没有旅客下车 故20位旅客都不在第i站下车的概率为0 920 在第i站有人下车的概率为1 0 920 于是得Xi的分布律如下 例10一民航机场的送客班车载有20位旅客 自机场开出 沿途旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车班车就不停 设每位旅客在各个车站下车是等可能的 且各旅客是否下车相互独立 以X表示停车的次数 求E X 解随机变量 1 0 920 这表明班车平均停车约9次 解 试验证 但X和Y是不独立的 解