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第九章 欧氏空间练习题与测试题一、填空题1设是一个欧氏空间， ，若对任意都有，则_2在欧氏空间中，向量，那么_ _，_3在维欧氏空间中，向量在标准正交基下的坐标是，那么_，_4两个有限维欧氏空间同构的充要条件是_5已知是一个正交矩阵，那么_，_二、判断题1在实线性空间中，对于向量，定义，那么构成欧氏空间。( )2在维实线性空间中，对于向量，定义，则构成欧氏空间。 ( )3是维欧氏空间的一组基，与分别是V中的向量在这组基下的坐标，则。( )4对于欧氏空间中任意向量，是中一个单位向量。( )5是维欧氏空间的一组基，矩阵，其中，则A是正定矩阵。( )6设是一个欧氏空间，并且，则与正交。( )7设是一个欧氏空间，,并且，则线性无关。( )8若都是欧氏空间的对称变换，则也是对称变换。( )三、计算题1把向量组，扩充成中的一组标准正交基. 2求正交矩阵，使成对解角形。四、证明题1设，为同级正交矩阵，且，证明：2设为半正定矩阵，且，证明：3证明：维欧氏空间与同构的充要条件是，存在双射，并且 有 自测题一、填表空题（每小题3分，共15分）1欧氏空间中，则 ， 2为欧氏空间V的线性变换，则为正交变换当且仅当 ；为对称变换当且仅当 3设，若与正交，则 4为阶正交矩阵，且，则 5是三维欧氏空间的向量，则式子，中表示向量的是 二、判断说明题（先判断正确与错误，再说明理由每小题5分，共20分）1欧氏空间V中保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换必为正交变换2正交向量组必线性无关3实数与对称变换之积必是对称变换4欧氏空间中，为对称为变换三、计算题（每小题15分，共45分）1求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基2在中，对任意向量，定义（1）证明：作成欧氏空间（2）写出这个欧氏空间的柯西施瓦兹不等式3设求正交矩阵U，使为对角形四、证明题（每小题10分，共20分）1A为阶实对称矩阵，且证明：存在正交矩阵U，使其中为A的正特征值的个数2设为维欧氏空间V的一组基证明：这组基是标准正交基的充分必要条件是，对V中任意向量都有.小测验九 姓名学号一、填空题1、已知三维欧式空间中有一组基，其度量矩阵为，则向量的长度为。2、设在此内积之下的度量矩阵为 。3、在n 维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为 。4、在欧氏空间中，已知，则 ，与的夹角为 （内积按通常的定义）。5、设为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式： 。二、已知二次型（1）t为何值时二次型f是正定的？（2）取，用正交线性替换化二次型f为标准形三、设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为（1）令，证明是一个单位向量；（2）若与正交，求四、设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换A如下：证明：（1）A为第二类的正交变换（称为镜面反射）。（2）V的正交变换B是镜面反射的充要
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