离散时间信号的变换.ppt

第三章离散时间信号的变换 3 1Z变换基础 定义 序列x n 的z变换定义为 x n 的z变换 称为X z 处于z域 z域是含有复数的频域 但z变换并不是对z域内所有的值都有定义 有定义的z值构成了z变换的收敛域 信号y n 的z变换记为Y z 简记为 3 1Z变换基础 由Y n 计算y n 要进行逆z变换例3 1 计算下列序列的z变换X z 3 1Z变换基础 解 信号x n 只在n 0处有非零值 因此 此z变换对所有的z值都有定义 故起收敛域为整个z平面 3 1Z变换基础 例3 2 计算下列序列的z变换X z 解 信号x n 只在n 1处有非零值 因此 除z 0外其余的z都有意义 因此其收敛域为z 0的整个平面 3 1Z变换基础 例3 3 计算下列序列的z变换X z 解 这是首项a 1及乘数的几何级数 3 1Z变换基础 求和 若有得 其中 即z变换的收敛域为 3 1Z变换基础 例3 4 信号x n 如图所示 计算信号的z变换 3 1Z变换基础 解 信号可以写成它只有3个非零值 因此z变换的项数相同 其z变换为 在z 0时 此式有定义 3 1Z变换基础 例3 5 计算下列序列的z变换解 因为在n 0时 u n 1 所以 3 1Z变换基础 这个无穷级数的首项a 1及乘数 因此其和为 此z变换的收敛域为 或 3 1Z变换基础 Z变换的一个重要性质是时移特性 设X z 是序列x n 的z变换 x n 在n 0以前为零 此信号的时移x n 1 的z变换 由定义知为 令m n 1 则n m 1 那么 3 1Z变换基础 由于x 1 0 所以有 如果x n 的z变换为X z 则x n 1 的z变换为z 1X z Z域中的因子z 1相当于时域中的一个采样的延迟 3 1Z变换基础 注意不要混淆延迟项z 1和逆z变换的符号Z 1 3 1Z变换基础 例3 6 求信号x n 2u n 2 的z变换解 因为 3 1Z变换基础 故有 收敛域为 z 0 z 1例3 7用z 1符号重新表示非递归差分方程流图 3 1Z变换基础 3 1Z变换基础 3 2传输函数 对差分方程中每一项进行z变换之后 z域中输出输入比为 H z 即为传输函数 3 2 1传输函数和差分方程 逐项进行变换得 3 2 1传输函数和差分方程 解方程得传输函数 例3 8求下列差分方程所描述系统得传输函数 3 2 1传输函数和差分方程 解 逐项进行z变换得 3 2 1传输函数和差分方程 例3 9求下列系统传输函数得差分方程解 将分母展开得 3 2 1传输函数和差分方程 由于最新得输出项为y n 2 而不是y n 只要每一项进行相同得移位 差分方程不变 3 2 2传输函数和脉冲函数 3 2 2传输函数和脉冲函数 其中Y z 是y n 的z变换 X z 是x n 的z变换 H z 是h n 的z变换 也就是说传输函数是其脉冲响应的z变换 3 2 2传输函数和脉冲函数 例3 10数字滤波器的脉冲响应为 求此滤波器的传输函数 解 滤波器的传输函数就是脉冲响应的z变换 注意 此传输函数得到差分方程 3 2 3计算滤波器输出 在z域 可以用传输函数H z 计算系统的输出 由于H z Y z X z 有 Y z 的逆z变换可以得到信号y n 3 3逆Z变换 3 3 1标准式 3 3 1标准式 例3 11将下面的传输函数变为标准式 解 变换标准式的第一步是将所有延迟项的指数化为正 如果最高负指数项为z n 则传输函数每一项乘以zn 从而使所有指数为正 3 3 1标准式 变换的第二步是确保分母最高次幂的系数为1 为此 传输函数分子分母同除以4得到标准式 3 3 1标准式 作业 求下列差分方程的传输函数 3 3 2简单的逆z变换 通过查表求逆z变换例12 求出z变换对应的信号x n 解 由表3 1得到逆z变换 3 3 2简单的逆z变换 例13 求出函数的逆z变换 3 3 2简单的逆z变换 解 表中与X z 相似的z变换形式为 其中逆z变换为 3 3 2简单的逆z变换 例14 系统的传输函数为 a 求系统的差分方程b 求系统的脉冲响应 3 3 2简单的逆z变换 解 a 系统的差分方程是b 系统的脉冲响应是传输函数的逆z变换 将传输函数整理分解表3 1的形式 3 3 2简单的逆z变换 由表知后者的逆z变换为经两步移位后 脉冲响应为 3 3 2简单的逆z变换 例15 数字滤波器的输入为x n u n 其输出为a 计算滤波器的传输函数b 计算滤波器的脉冲响应 3 3 2简单的逆z变换 解 x n 的z变换为 y n 的z变换为 因此传输函数为 3 3 2简单的逆z变换 首先将H z 化成真有理函数的形式 然后求各个的变换 由表知1的逆z变换为逆z变换为 3 3 2简单的逆z变换 例16 求z变换的时域信号x n 解 此z变换是标准式 一种方法是分解X z 并分离出表3 1中所列的变换 3 3 2简单的逆z变换 的逆z变换为经因子z 2所引起的两此延迟后 逆z变换为 3 3 3长除法求逆z变换 方法 用传输函数的分子除以分母 然后对每一项进行逆变换 优点 比较直接 适用于任意有理函数缺点 一般很难得到像前面例子所得到的那种闭合解 3 3 3长除法求逆z变换 例17用长除法求的逆z变换 3 3 3长除法求逆z变换 解 3 3 3长除法求逆z变换 所以 3 3 4部分式展开法求逆z变换 设滤波器的输入为x n u n 1 脉冲响应为h n 0 25 nu n 求滤波器的输出 解 第一步 计算输入与脉冲响应的z变换 3 3 4部分式展开法求逆z变换 脉冲响应的z变换为系统的传输函数 得传输函数为 3 3 4部分式展开法求逆z变换 3 3 4部分式展开法求逆z变换 例18 求的逆z变换解 其分母已经分解为简单因子 部分分式展开式有三项 分母的每一个根一项 3 3 4部分式展开法求逆z变换 3 3 4部分式展开法求逆z变换 3 3 4部分式展开法求逆z变换 例19 求z变换的时域信号x n 解 对X z 的分母进行因式分解得 3 3 4部分式展开法求逆z变换 部分式展开为 最后得逆变换为 3 4传输函数与稳定性 3 4 1极点与零点极点 传输函数分母为零时z的取值零点 传输函数分子为零时z的取值 3 4 1极点与零点 例 20求传输函数的数字滤波器的极点和零点解 化为标准形式 3 4 1极点与零点 用二次公式分解分母多项式 得 因此 通过传输函数可以方便得确定极点和零点 对此滤波器 在z 0处有一个零点 两个极点分别是z 0 25和z 2 3 4 1极点与零点 标准式传输函数分子分母多项式都可以进行分解 有 其中K称为滤波器的增益 zj是滤波器的零点 pj是滤波器的极点 对数字滤波器分析和设计有用的工具称为z平面 可以在上面标出传输函数的极点和零点 在z平面中用 表示极点 表示零点 3 4 1极点与零点 例 21对传输函数求解并画出极零点解 化为标准形式 3 4 1极点与零点 零点位于z2 0处 有两个零点 都位于z 0 由二次公式可求出极点 3 4 1极点与零点 3 4 1极点与零点 例22数字滤波器的零点为z 0 2和z 0 4 极点为z 0 7 j0 6 增益为0 5 a 画出滤波器的极 零点图b 求滤波器的传输函数解 a 极零点图如下 3 4 1极点与零点 b 每个零点产生传输函数分子的一个因子 每个极点产生传输函数分母的一个因子 则传输函数为 3 4 1极点与零点 化简得传输函数 3 4 2稳定性 单位圆 以z平面的原点为圆心半径为1的圆 系统的所有极点都在单位圆内 则滤波器是稳定 若单位圆上有极点 则滤波器是临界稳定单位圆外有极点 则系统是不稳定的数学上这个区域可表示为 3 4 2稳定性 3 4 2稳定性 如果每个极点的模值都小于1 也就是极点到单位圆中心的距离小于1 则滤波器稳定的 稳定传输函数的收敛域必须包括单位圆 3 4 2稳定性 例23数字滤波器的传输函数为 判断其稳定性解 化为标准式为 3 4 2稳定性 零点位于z2 1 0即 z 1 极点位于 3 4 2稳定性 对于这些极点 到单位圆圆心的距离为 因为该距离小于1 两个极点都在单位圆内 所以系统稳定 3 4 2稳定性 例24滤波器的差分方程为 判断滤波器的稳定性解 极点可以很容易从传输函数 3 4 2稳定性 得到 二次式给出极点位置为 此例中极点为纯实部没有虚部 显然极点z 1 430在单位圆外 故系统不稳定 3 4 3一阶系统 一阶系统就是系统仅有一个极点 简单的一阶系统的传输函数为 由于只有一个极点z 稳定性要求l l 1对应的脉冲响应为 3 4 3一阶系统 l l 1时 脉冲响应随着n的增加无限增长 只要l l 1 脉冲响应就趋与零 此一阶系统的差分方程为 阶跃响应稳态趋于一个常数yss 因为输入阶跃函数为常数1 可以求得最终得稳定值 3 4 3一阶系统 稳态时 差分方程为 求得 3 4 3一阶系统 3 4 3一阶系统 例25滤波器得传输函数为a 求出其极点零点 并判断稳定性b 求出滤波器的脉冲响应c 求出滤波器的阶跃响应解 a 为了得到极零点 首先将其表示为标准式 3 4 3一阶系统 在z 0处有一个单零点 z 0 4处有一个单极点 极点在单位圆内 所以滤波器稳定 3 4 3一阶系统 b 脉冲输入的z变换X z 1则输出Y z 为 由表得逆z变换为 3 4 3一阶系统 c 阶跃输入的z变换为X z z z 1 输出为因此阶跃响应为 3 4 3一阶系统 此滤波器的差分方程为 y n 0 4y n 1 2x n 因此输入阶跃函数x n 等于1 故最后的稳态输出可以由yss 0 4yss 2 得出 3 4 3一阶系统 3 4 4二阶系统 简单得二阶系统得传输函数为 p1 p2是传输函数的两个极点 这个特定的二阶系统中在z 0处有2个零点 3 4 4二阶系统 只要两个极点都在z平面单位圆内 系统就稳定 要求lp1l 1 且lp2l 1 二阶差分方程为 3 4 4二阶系统 例26二阶系统极点为z 0 7 j0 8 无零点 增益1a 系统是否稳定 b 求系统的传输函数解 a 极点模值为 极点处于单位圆外 系统不稳定 3 4 4二阶系统 b 传输函数为 3 4 4二阶系统 例27求传输函数的零点和极点 并确定极点模值解 传输函数没有零点 由二次公式得 3 4 4二阶系统 极点为z 0 1 z 0 5 第一个极点得模值为 第二个极点得模值为 因此系统稳定 3 4 4二阶系统 例28求滤波器阶跃响应得稳态输出 滤波器得传输函数为 解 滤波器得极点可由z2 0 5z 0 3 0得到 极点为z 0 852 z 0 352 因此滤波器系统稳定 此滤波器差分方程为 3 4 4二阶系统 因为滤波器是稳定得 输出将会得到常数值yss 阶跃输入为1 则差分方程为 得到 作业 1 求出下列滤波器的零极点 并判断稳定性2 求一阶传输函数的脉冲响应表达式 并画出极零图3 当二阶系统输入为单位阶跃时 求稳态输出 3 5傅立叶变换与滤波器形状 3 5 1傅立叶变换基础离散时间傅立叶变换 DTFT 作用 把信号或滤波器从时域变换到频域主要研究信号或滤波器的频率特性DTFT得到的信息称为滤波器的频率响应 幅度响应和相位响应 3 5 1傅立叶变换基础 信号x n 的离散时间傅立叶变换定义 是数字频率 信号x n 的DTFT可记为 由于欧拉恒等式 3 5 1傅立叶变换基础 那么 例29求下图所示信号的离散时间傅立叶变换 3 5 1傅立叶变换基础 3 5 1傅立叶变换基础 解 只有4个非零采样值 n 0 1 2 4 对变换有贡献 因而 3 5 1傅立叶变换基础 例30求信号的DTFT解 在n 0和n 3时 信号值都是零 所以 3 5 1傅立叶变换基础 离散时间傅立叶变换有2个重要性质时延特性周期性假设信号x n 的DTFT存在 为X 则x n n0 的DTFT为 3 5 1傅立叶变换基础 令m n n0 则有时域中n0的延迟在频域里引入一个复指数第二个特性是周期性 分析 3 5 1傅立叶变换基础 利用欧拉恒等式对所有n值有 所以 所以DTFT是周期性的 周期为 3 6频率响应及其他形式 3 6 1频率响应和差分方程对每一项进行DTFT 将差分方程变换到频域 3 6 1频率响应和差分方程 频域中输出输入之比为 H 称为滤波器的频率响应 3 6 1频率响应和差分方程 例 31求如下差分方程所表示的滤波器的频率响应表达式解 对每一项进行DTFT得 3 6 1频率响应和差分方程 提出公因式得 频率响应是 3 6 1频率响应和差分方程 例32求如下差分方程相应的频率响应解 容易确定系数为a0 1 a1 0 1 a2 0 85 b0 1 b1 0 3 滤波器得频率响应为 3 6 2频率响应和传输函数 滤波器得频率响应H 和传输函数H z 之间有密切得联系 把传输函数中所有换成 即可得到频率响应 3 6 2频率响应和传输函数 例 32求滤波器得频率响应 他的传输函数是 解 频率响应为 3 6 3频率响应和脉冲响应 3 6 3频率响应和脉冲响应 当滤波器的输入x n 是一个脉冲函数 n 时 他的DTFT是 已知脉冲输入时的输出y n 是脉冲响应h n 则他的DTFT是 由滤波器的频率响应得 3 6 3频率响应和脉冲响应 例33数字滤波器得脉冲响应为求滤波器得频率响应得表达式解 频率响应是脉冲响应的DTFT 得 3 6 3频率响应和脉冲响应 作业 1 写出信号的DTFT表达式2 数字滤波器的差分方程为求其频率响应的表达式3 滤波器的脉冲响应为求其频率响应的表达式 3 7频率响应和滤波器形状 3 7 1滤波器对正弦输入的作用滤波器的频率响应也可以作为用来计算滤波器的输出输出信号通过逆变换得到 注意 DTFT方法一般仅用于求正弦输入时的输出滤波器的频率响应显示了滤波器在每个频率上的特性 3 7 1滤波器对正弦输入的作用 频率响应H 是一个复数 可以用极坐标表示 其中是滤波器在数字频率 处的增益是同一频率下滤波器的相位差 3 7 1滤波器对正弦输入的作用 由于H X Y 都是复数 采用极坐标表示为 可得 3 7 1滤波器对正弦输入的作用 对于数字余弦信号 3 7 1滤波器对正弦输入的作用 3 7 1滤波器对正弦输入的作用 可简记为于是 展开得余弦信号 3 7 1滤波器对正弦输入的作用 例34数字频率为1 5弧度的余弦波通过滤波器 在此频率下 滤波器增益为 21dB 相位差为860 如果输入幅度为20 相位为120 则输出幅度和相位是多少 解 输入简式为 这是余弦函数的缩写 在1 5弧度处 滤波器增益为 21dB 转换为线性值为 3 7 1滤波器对正弦输入的作用 因为相位差为860 频率响应的简式为 输出是频率响应和输入信号傅立叶变换值的乘积 可的输出信号为 3 7 2幅度响应和相位响应 频率响应包括 幅度响应和相位响应幅度响应 所有数字频率处增益的集合相位响应 所有相位差的集合 3 7 2幅度响应和相位响应 例35一系统的频率响应为 求该系统的幅度响应和相位响应 并画出图 幅度响应是增益对数字频率 弧度 的关系图 相位响应是相位 弧度 对数字频率 弧度 的关系图 数字频率范围是 3 弧度 3 7 2幅度响应和相位响应 解 对于 3 4弧度 采用极坐标和非极坐标进行计算 极坐标计算得 非极坐标计算得 3 7 2幅度响应和相位响应 3 7 2幅度响应和相位响应 3 7 2幅度响应和相位响应 由上例可知 幅度响应和相位响应是周期的 每2 弧度重复一次 幅度响应是偶函数 相位响应是奇函数 如果增益采用分贝 图象就会改变 3 7 2幅度响应和相位响应 例36滤波器的幅度响应和相位响应如下图所示 确定当数字频率是下列值时的增益和相位差 a 2radb 3rad解 a 2rad处的增益大约是 4dB 相位大约 70 准确值是 4 4dB和 66 b 3rad处的增益大约是 43dB 相位大约80 准确值是 42 9dB和81 3 7 2幅度响应和相位响应 3 7 2幅度响应和相位响应 例37把数字信号加到数字滤波器上 滤波器的频率响应如图所示 求其输出信号 3 7 2幅度响应和相位响应 解 输入信号的频率是0 25 0 7854rad 在图中用一实线表示 在此频率 滤波其增益为17 4dB 相位差37 5 输入x n 的简式为输出信号为 3 7 2幅度响应和相位响应 3 7 2幅度响应和相位响应 3 7 2幅度响应和相位响应 例38画出频率响应的曲线 3 7 2幅度响应和相位响应 3 7 2幅度响应和相位响应 3 7 2幅度响应和相位响应 例39数字滤波器的差分方程为 求其频率响应并画出曲线 分贝增益 相位 度 解 频率响应的表达示为 3 7 2幅度响应和相位响应 3 7 2幅度响应和相位响应 3 7 2幅度响应和相位响应 例40滤波器的脉冲响应为求其频率响应并画