多台设备同时故障的最优维修次序的选择.doc

多台设备同时故障的最优维修次序的选择摘要设备故障维修是企业遇到最多的问题之一，而维修工人在维修多台设备时，就要进行一个最优化的选择，以便能够使企业的损失降到最低。模型的建立是基于将实际问题转换成数学表达式来求解，进一步利用代数式化简，将其转换成分步比较的形式，经过分步比较得出最优值。在建立此模型后，定义。理论证明，当越大时，对应的设备维修次序越靠前。因此，计算出所有设备的值，然后由大到小排列，对应的设备排序就是最优排序。运用反选图表法和计算机语言实现计算机解决问题，得出其中的最优排序方案：问题(一)最优维修次序为：2,5,6,3,1,4,7；最优化后的最小损失为199.9万元。问题(二)最优维修次序为：A：2,3,7；B：5,6,1,4。问题(三)则是在问题(一)的基础上进行推广，用计算机语言实现计算机解决问题。关键字：最优值 分布比较 反选图表法 计算机语言1问题的提出企业在生产中，难免会有设备出现故障，而且不同设备故障给企业造成的经济损失及所需维修时间不同。如果在维修人数一定的情况下，为了使企业的损失最小，则要选择一种最优的维修次序。问题(一)：只有一名工人来维修这七台设备，在各设备所维修时间和每小时所造成的损失已知的情况下，找出最优的维修顺序。问题(二)：现有两名工人来维修这七台设备，在各设备所维修时间和每小时所造成的损失已知的情况下，找出最优的维修顺序。问题(三)：推广问题(一)，如果一名工人维修台同时故障的设备，在各设备所维修时间和每小时所造成的损失已知的情况下，找出最优的维修顺序。2问题的分析在这个问题中，可以看作是一个最优化的分析问题。这三个问题都是在设备多，而人手少的情况，要求选取损失最少的方案。对于问题(一)：在只有一个人维修多台设备的时候，首先按原来的维修顺序来算出设备给企业造成的损失，然后将排序相邻的设备进行顺序对换，若对换后的损失少于对换前，则将两设备对换，否则不对换，这样就使两设备在相邻情况下有最优排序，现将每两相邻设备的对换前后进行对比，使得它们的排序最优，以此类推，就可以得到一个人维修这7台设备的最优维修次序。不难发现两相邻设备的存在一定的关系，因此我们令=，其中，为第个维修设备停工一小时所造成的损失，为第个维修设备所需的维修时间，利用它进行分析求解。对于问题（二）：通过对第一题的计算已经得到最佳维修次序，当两个人维修时，大致的顺序与问题(一)的相同，并且是两个工人最大限度的同时完成任务，即充分的利用工人资源与时间。对于问题（三）：一人维修多台设备时与问题(一)的解决方案一样，即将7台设备换成台设备，对问题(一)进行推广。3模型假设与符号假设(1)每台设备在预定的时间内恰好完成维修；(2)每台设备在维修完毕后都能正常运行；(3)工人在维修所有设备过程中是连续进行，中间没有时间间隔，工人维修完一台设备后紧接着进行下一个设备的维修；(4)对于问题(二)，两人维修各自设备时相互独立，互不影响。：第台设备维修所需的时间；：第台设备每小时给企业造成的损失；：维修完所有设备后的总损失。4模型的建立4.1一人维修时模型的建立每台设备维修所需要的时间和停工每小时所造成的损失均已知，设各设备的维修时间用表示，各设备停工时间所造成的损失用表示，且中的元素与中的元素一一对应，对应关系如表1所示：表1编号1234567第一台设备的损失为，在维修第一台设备时其他设备损失总和为(+)，所以在维修第一台设备这段时间内各设备损失总和为(+)。因此至维修完最后一台设备后，各设备的总损失为：=(+)+(+)+。若要使最小，就要解决设备的排序问题，通过不同的排序使值最小的设备排序就是所要求解的设备最优排序次序。4.2两人同时维修时模型的建立由问题(一)的分析求解可知最优维修次序为：2,5,6,3,1,4,7现在设A和B两个人相互独立的维修设备，寻求最优的解。等同于A和B两人各自从排列好的次序中选择组合。假设A先修理2号，则从剩下的设备中按最优解的要求B必定修理5号，以这种思想类推，可用“以机器选人”的反选法来表示。具体方法如下图所示： A：2,6,3A：修理2 A:2,6 B：5 B:5 A：2,6 A:2 B：5,3 B：修理5 B:5,6 A：2,3B：5,6 A：2B：5,6,34.3一人维修多台设备时模型的建立问题(三)其实就是对问题(一)的推广，只需将问题(一)模型中所要维修的设备由七台换成台，即可求出一台工人维修台设备的最优解。现要求在一人维修台设备的前提下进行排序，由以上得证，只要设备的所需维修时间和停工单位时间所造成的损失已知就可以很容易地排出它们的维修次序，即将各设备停工单位时间造成的损失除以所需维修时间，所得结果从大到小进行排序，所对应的设备编号顺序就是最优的维修次序。5模型的简化与求解将问题转换为求解=(+)+(+)+的最小值，所得到的与的排序就是所要求解的设备最优排列次序。但是的最小值不宜求出，需要进一步的简化。可以将中相邻两元素对换（中对应元素也随之对换），然后分别求出值再进行比较，用这种方法依次求解就能使更接近最小值。5.1一人维修时的简化及其最优排序的求解由以上模型的建立，可得出任意一种排序：=(+)+(+)+(+)+(+)+当第列与第列对换后有：=(+)+(+)+(+)+(+)+则-=(+)+(+)+(+)+(+)+-(+)+(+)+(+)+(+)+=-讨论-的结果取值有以下三种情况：(1)、-=0时此情况下=，即第列与第列对换前后值相等，与相同程度接近最小值，所以此种情况下不需要对换。此时由上式可变换得： =(2)、-0时此情况下(3)、-0时此种情况下，即第列与第列对换后的值小，更接近最小值，所以此种情况下需要对换。此时由上式可变换得： 由以上推理可知：当第列与第列的元素满足关系时取得最小值，当第列与第列的元素满足关系，此时只有一种最优排序；当至少有两个都相等时由情况(1)可得无论它们之间的排序如何都相等，因此它们的不同排序都是最优排序。现将七台设备进行排序，即求出=，如表2所示：表2编号1234567587849130.61.81.20.80.81.71.00.120.2250.1710.10.20.1890.077由表2可以得出：所以最优的维修排序为：2,5,6,3,1,4,7；将此排序下的各设备参数代入下式：=(+)+(+)+所以最小经济损失=199.9万元。5.2两人同时维修时的简化及其最优排序的求解从上图可以看出A和B选择最优排序组的顺序与各设备维修的时间长短有关，由于各设备维修时间已知，故可以以此确定A与B维修设备的先后顺序。机器编号1234567维修时间58784913由于，故设备5修完之后设备2还未修完，B选设备6；由于+，故设备2修完之后设备6还未修完，A选设备3以此类推可得出最优解为A：2,3,7；B：5,6,1,4。5.3一人维修多台设备时的求解对于问题(三)的求解也是对问题(一)的推广，为了计算的方便，利用计算机编程求解(程序流程图和C语言程序见附件部分)。6结果分析与检验在一个人维修的情况下，可以利用计算机编程将其所有故障设备的排序进行计算比较，然后将总损失最小的排序输出，将题目中的七台设备参数输入后，运算结果是2,5,6,3,1,4,7(见附件部分)；这与以上结果相符，因此以上计算和证明都合理。7模型的优缺点与改进方向解决此问题时采用了数学的解决方法，利用计算机来解决此问题，以便达到更高的效率。在模型求解中利用了C语言编程软件，大大简化了编程工作，且模型本身结合软件的使用就具有很强的可移植性，便于模型的推广。但是当维修人数不确定，设备故障时的时间也不确定时，利用此模型计算就比较困难。因此，我们建议只需了解对问题(一)、问题(二)这种分析问题和解决问题的思想，当问题比较复杂时如问题(三)，我们采用计算机来解决问题。8参考文献1 谭浩强.C程序设计语言（第四版）.北京.清华大学出版社.2010.2 宋文瑜,徐成贤,朱德通.最优化方法.高等教育出版社.2004,8:186193.3 申培萍.全局优化方法.科学出版社.2007.4 徐玖平,胡知能.中级运筹学.科学出版社.2008,3:119132.9附录部分9.1程序流程图9.2C语言程序#includedouble sum(int a,double b,int d,int); /对函数sum()进行声明void main()int a100,d100,k;double b100,c100,t,min;int i,j,N;printf(同时发生故障的机器总数(台):n);scanf(%d,&N);printf(按顺序输入每台机器维修所需时间(小时):n);for(i=0;iN;i+)scanf(%d,&ai);printf(%n);printf(按顺序输入每台机器每小时造成的损失(万元/小时):n);for(j=0;jN;j+)scanf(%lf,&bj);for(i=0;iN;i+)ci=bi/ai; /每台机器停工每小时造成的损失与维修时间的比值di=i+1; /同时故障机器的编号for(j=0;jN-1;j+)for(i=j+1;iN;i+)if(cjci)t=cj;cj=ci;ci=t;k=dj;dj=di;di=k;printf(最优维修顺序为:n);for(i=0;iN;i+)printf(%d,di); /输出最优维修机器的顺序printf(%n);min=sum(a,b,d,N); /