赏析别具一格的高考数学文化题.pdf

2015 年第 3 期 摘要 数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要 内容 高考试题如何体现数学文化呢 以八道有关数 学文化的高考试题为例 从古今中外四个方面谈了高 考试题的数学文化背景 关键词 数学高考 数学文化 文化背景 1952 年颁布的 中学数学教学大纲 草案 就 指出 在教学的过程中应当使学生注意数学在文化史 上的巨大价值 2003 年颁布的 普通高中数学课程标 准 实验 以下简称 标准 更是把 体现数学的 文化价值 作为高中数学课程的十项基本理念之一 强调数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容 要求把数学文化渗透到每个模块或专题中 遗憾的是长期以来 高中数学教育强调的是知识 的传授和技能的训练 曾有学者指出 我们长期以来 不仅没有认识到数学的文化教育功能 甚至不了解数 学是一种文化 这种状况在很大程度上影响了数学研 究和数学教育 所幸 这种状况近年来已经有所改变 不少传播 数学文化的高考试题应运而生 数学文化因这些高考 试题而渐入高中数学课堂 这些试题也因传播数学文 化而成为经典试题 在众多的经典试题中 湖北卷的 数学文化题更显超凡脱俗和出类拔萃 此类试题以数 学文化为命题背景 着重对数学知识 能力 思想和 方法进行考查 立境深远 构思精巧 内涵丰富 现 列举部分湖北省高考数学文化题加以分析 重在揭示 试题背后的数学文化 以期抛砖引玉 一 以古代外国数学文化为背景 例 1 2009 年湖北卷 文 理 10 古希腊人常用 小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 例如 他们 研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够 表示成三角形 将其称为三角形数 13610 图 1 类似地 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数 为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的 是 A 289 B 1024 C 1225 D 1378 14916 图 2 例 2 2012 年湖北卷 文 17 传说古希腊毕达哥 拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示 数 他们研究过如图 3 所示的三角形数 13610 图 3 将三角形数 1 3 6 10 记为数列 an 将可 被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数 列 bn 可以推测 1 b2012是数列 an 中的第项 2 b2k 1 用 k 表示 赏析 这两道高考试题都是以形为载体 考查数 列的通项公式等基础知识 考查特殊与一般的数学思 想方法 考查归纳与猜想 推理与计算的能力 试题 收稿日期 2014 10 19 作者简介 梅磊 1982 男 中学一级教师 主要从事数学教育与中学数学研究 赏析别具一格的高考数学文化题 梅磊 湖北省武汉市黄陂区第六中学 试 题 荟 萃 S H I T I H U I C U I 51 2015 年第 3 期 既合理引用了经典史料 又不刻意增加难度 同时对 学生的数感进行了有效地考查 让学生在数学史的背 景中 体验数学的理性精神 在数学史上 古希腊数 学家毕达哥拉斯最早把正整数和几何图形联系在一起 把数描绘成沙滩上的小石子 又按小石子所能排列的 形状 把正整数与正三角形 正方形等图形联系起来 将数分为三角形数 正方形数 这样一来 抽象的正 整数就有了生动的形象 寻找它们之间的规律也就容 易多了 毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在 算术引 论 中将多边形数推广到多面体数 公元前 6 世纪 还没有纸 用小石子研究数的性质 既方便又直观 这真是古希腊人的一种创造 也是认识数的一种有趣 方法 英语中的 calculation 一词来源于拉丁文 cal culus 就是小石子的意思 二 以古代中国数学文化为背景 例 3 2012 年湖北卷 理 10 我国古代数学名著 九章算术 中 开立圆术 曰 置积尺数 以十六乘 之 九而一 所得开立方除之 即立圆径 开立圆 术 相当于给出了已知球的体积 V 求其直径 d 的一 个近似公式 d 16 9 V 3 人们还用过一些类似的近似 公式 根据 3 141 59 判断 下列近似公式中最精 确的一个是 A d 16 9 V 3 B d 2V 3 C d 300 157 V 3 D d 21 11 V 3 例 4 2013 年湖北卷 文 16 我国古代数学名著 数书九章 中有 天池盆测雨 题 在下雨时 用一 个圆台形的天池盆接雨水 天池盆盆口直径为二尺八 寸 盆底直径为一尺二寸 盆深一尺八寸 若盆中积 水深九寸 则平地降雨量是 注 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口 面积 一尺等于十寸 例 5 2014 年湖北卷 文 10 理 8 算数书 竹 简于上世纪 80 年代在湖北省江陵县张家山出土 这是 我国现存最早的有系统的数学典籍 其中记载有求 囷盖 的术 置如其周 令相乘也 又以高乘之 三 十六成一 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与 高 h 计算其体积 V 的近似公式 V 1 36 L2h 它实际上 是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3 那么 近 似公式 V 2 75 L2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似 取为 A 22 7 B 25 8 C 157 50 D 355 113 赏析 例 3 例 5 分别以 九章算术 数书九 章 和 算数书 为背景 相应考查球的体积公式 圆台的体积公式和圆锥的体积公式等数学知识 九章 算术 大约成书于公元 1 世纪 是中国古代最著名的 传世数学著作 它的出现标志中国古代数学形成了完 整的体系 数书九章 成书于 1247 年 9 月 是对 九章算术 的继承和发展 它概括了宋元时期中国传 统数学的主要成就 标志着中国古代数学的高峰 算 数书 成书于公元前 186 年以前 是目前已知最早的 中国数学著作 它不仅系统地总结了秦和先秦的数学 成就 为中国古代数学的发展奠定基础 同时对后世 的 九章算术 的产生也有一定的影响 而且开创了 我国古代数学重应用的特色 标志着我国古代数学理 论体系开始初步形成 三年三道试题 介绍了三部数 学名著 让学生更加了解 九章算术 数书九章 和 算数书 等数学名著 从这个意义上讲 这些试题的 意义和价值实际上已远远超出了试题本身 三 以现代中国数学文化为背景 例 6 2008 年湖北卷 文 理 10 如图 4 嫦娥 一号 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球 在月球附 近一点 P 处变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆 轨道 绕月飞行 之后卫星在点 P 处第二次变轨进入 仍以点 F 为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 最终卫星在点 P 处第三 次变轨进入以点 F 为圆心的圆形轨 道 绕月飞行 若用 2c1和 2c2分别 表示椭圆轨道 和 的焦距 用 2a1 和 2a2分别表示椭圆轨道 和 的 长轴的长 给出下列式子 a1 c1 a2 c2 a1 c1 a2 c2 c1a2 a1c2 c1 a1 c2 a2 图 4 F P 试 题 荟 萃 S H I T I H U I C U I 52 2015 年第 3 期 其中正确式子的序号是 A B C D 例 7 2009 年湖北卷 理 13 如图 5 卫星和地 面之间的电视信号沿直线传播 电视信号能够传送到 达的地面区域 称为这个卫星的覆盖区域 为了转播 2008 年北京奥运会 我国发射了 中星九号 广播电 视直播卫星 它离地球表面的距离约为 36 000 km 已 知地球半径约为 6 400 km 则 中星九号 覆盖区域 内的任意两点的球面距离的最大值约为 结 果中保留反余弦的符号 图 5 赏析 例 6 以 嫦娥一号 卫星为背景 抽象出 一条对称轴 一个焦点和一个顶点的两个椭圆间的几 何性质 并采用数形结合的方式构筑成题 题中所给 的有关椭圆基本量的四个式子 形式上采用加 减 乘 除四则运算 并结合相等与不等关系组合而成 搭配对称和谐 富有数学美感 例 7 以 中星九号 卫星的背景 考查球面距离概念及其求法 要求学生 有一定的空间想象能力和运算求解能力 如果注意到 图中的对称性 则容易算得 12 800arccos 8 53 的结果 否则计算量较大 得到 6 400 arccos 2 681 2 809 的结 果 两道试题都是以卫星为背景 却分别考查解析几 何与立体几何知识 可谓构思巧妙 这两道试题对引 导中学数学教育理论联系实际 关注科普知识 重视 数学文化 有着非常重要的导向作用 四 以现代外国数学文化为背景 例 8 2009 年湖北卷 理 15 已知数列 an 满足 a1 m m 为正整数 an 1 an 2 当 an为偶数时 3an 1 当 an为奇数时 若 a6 1 则 m 所有可能的取值为 赏析 例 8 以角谷猜想为背景 分别考查分段数 列和程序框图等数学知识 这个猜想大约是在 20 世纪 30 年代被提出来的 在 西方 它常被称为西拉古斯 Syracuse 猜想 因为据 说这个猜想首先是在美国的西拉古斯大学研究的 而在 东方 这个猜想以将它带到日本的美籍日本数学家角谷 静夫 Shizuo Kakutani 的名字命名 被称做角谷猜想 这是一个形式很简单的问题 要理解这个问题 所需要的知识不会超过小学三年级的水平 所以 每 个数学爱好者都可以来碰碰运气 试试能不能证明它 不过要提醒大家的是 已经有 无数的 数学家和数 学爱好者尝试过了 而且其中不乏数学天才和世界一 流的数学家 他们都没有成功 虽然角谷猜想尚未得 到证明 但它对培养数学能力却起着独特的作用 在 高考 竞赛 甚至公务员考试中均多次出现 除了上面列举的八道例题外 湖北卷中的数学文 化题还有很多 例如 2010 年理科第 15 题 三种平均 数的几何表示 2011 年理科第 15 题 斐波那契数列 的几何模型 2012 年理科第 13 题 回文数 2012 年 理科第 14 题 黄金双曲线 2013 年文科第 17 题 格 点多边形的面积 2014 年理科第 13 题 数字黑洞等 以上试题情境交融 知能并重 背景涉及古今中外 视角触及天边眼前 蕴含着浓郁的文化意韵 流淌着 鲜活的数学思想 是精心打造的亮点之处和匠心独运 的创新之举 这类问题要求学生对所提供的信息资料 进行整理和分析 在试题营造的数学氛围中 感受数 学的思维方式 体验数学的理性精神 用数学的观点 认识世界 观察社会 思考问题 同时 体现出高考 数学以问题为背景 以知识为载体 以方法为依托 以能力为主线 在平凡中进行科学探究 在朴实中传 播数学文化的命题意