运用数学思想方法 探索数列中常数的存在性.pdf

3 6 数 学 教 学 研究 2 0 0 4 年第 4 期 运用数学思想方法探索数列中常数的存在性 陈华安 广东省顺德市容桂职业技术学校 5 2 8 3 0 3 在数列的各种问题中 常数是否存红 Ih j 题 经常出现 这类问题常以函数 程 不等式 数列为 载体 在知识的交汇处榆测学生综合运用知识的能 力 具有较强的综合性 对所使用的解题方法也有较 高的要求 须有一定的预见性和灵活性 是训练和考 台学牛的思维能力 分析能力和解决问题能力的好 题型 解这类r u 题必须以科学的思想方法作指导 通 过特殊与一般 估测与精确推理运算 有限与无限等 关系加以转化 才能获得探索的结果 1 特殊化与一般化思想 矛盾论的基奉原理 告诉 我们 特殊性寓于普遍 性之中 在认识事物和解决问题的过程中 必须 持 具体问题具体分析 也就足在矛盾酱遍性原理的指 导下 县体分析矛盾的特殊性 把特殊性 一般性有 机结俞运用于解题中 由于常数具有小变的特性 因 此通过数列巾的特殊项或项数 则可估测出所求的 常数值 而对于一般情形只需要加以验证即可获得 问题的解决 例 1 是否存在这样的等左数列 使它的卣 项为 公差小为零 且其前3 项中 fi f 项和t j 其后 2 项和的比值对于任意自然数 都等于常数 仃 在 求f U 数列1 a 通项公式及该常数 若不存在 说 明理 由 解 若存在这样的等差数列 其公差为d 前 项和记作S 则其后 2 项和为s 一s 由题意 记 A A为常数 s 一 r d S 3 一 S 一 2 n 4 一 1 d 令 一 得 一 整婵得 d 一2 d一 0 丙为 d 0 所以 一 2 n 1 一 此时对于仟意 自然数 一 二 s 3 一 s 2 n 2 n 4 n一 1 一 一 一 A 也 成 8 8 故存在这样的等差数列f a 其通项公式足n 一 2 n 一1 常数A 注 山等差数列的一般性建立关系式 从特 性人手 令 一 1 2 探求常数A 再证明所求的常数 具有一般性 体现 特殊化和一般化思想的渗透 例 2 根据 2 0 0 0 年全国高考题 理 笫 2 0 题改 编 已知数列 f 其中f 一3 十2 问足螽仃在这 样的常数 P 使数列 一 为等 比数列 竹仃 枉 求出所有符合条件的 P 值 若 存 说明 南 解 汇b 一 一 设 q q 为常数 得 2 户 2 3一 户 3 q 2一 P 2 q 3一 P 3 即 一p 2一q 2 十 3 一P 3一q 一 0 亦即 2 一P 2 一q 3 一p 3 一q 一0 要使该等式成为恒等式的充要条件足 2 一 户 2一 q 一 3 一 p 3一 q o 解得 P一2 q一3 或 P一 3 q 一2 故符合条件 的 P存在H P一2 或 3 注 山等比数列的一般性人手建立关于一 的 I 等式 再利朋待定系数法直接求出常数 把一般化思 想渗透到解题过程中 2 函数思想 函数思想 是用联 系和变化 的观点 考察数学 对 象 数列是一类特殊的函数 以函数的观点认识数列 问题足解决数列问题的有效方法 例 4 数列 a 通项公式足 一 一1 0 9 问是否存在这样的自然数N 使 a 时于 切自 然数 n 恒 成立 并证明 分析 本题足探索数列中最大项及其时膻项 维普资讯 2 0 0 4 年第4期 数 学 教 学 研 究 数的存在性 但直接求a 的城大值比较闲难 因此町 以把它转化为研究数列的单调性 解 j 1 0 9 2 0 9 0 9 当 8 时 口 8时 1 即 l 拉 2 7 a I l a 1 故存在 N一8 或 9 使n a 对于一切自然数 恒成立 注 山于数列是特殊的函数 而它既具有函 数的一般性质 又具有自然数连续传递关系等特性 因此从函数人手 利用函数的性质探求常数 运 函 数思想合理转化 可迅速解决r J 题 3 方程思想 方程思想就是通过设l未知数建 方程 研究方 程解决 u J 题的打法 数列巾的一 常数存红于某一 等式中 丁 以把常数看作未知数 从方程人手 利用 办程的思想直接求解 一一 a 1 q 一 c 1一 q 阒 q 芦 0 敝只能有 a 一c 1 q 一 0 解 稚 即得 c一 此时 因 f 0 口 0 故 0 q 1 1 q 但 o q 1 时 S 一 一 一 0 使结论成 综合 i i i 小存存同时满足条件 的常数r 0 使结沦成立 注 把 c 行作未知数 从等式人手解方程求得 c 再判断c的存在性 体现了 程思想 4 分类讨论思想 复杂问题尢法一次解决 常常需要分类研究 化 整为零 各个击破 数列中隐含着丰富的分类讨沦的 问题 例 6 2 O O 1 年 E 海市春季高考题 已知i a 自 项为2 公比乃 的等比数列 s 为它f l j 项 和 用 s 表示S 是台存在自 然数f 和 使得 j 战 例5 1 9 9 5 年伞困高考题 没i 是由正数组 立 成的等比数列 S 足其前 n 项和 1 证明 0 使 得 二 一 l g s 成立 并证 明你的结 论 证明 1 略 2 把常数r 看作未 数 要使结论成 则有 S f S 2 f 一 S 1 i S 一f 0 i L l 时 一f s 一 一 S I f 一 r 十2 a l f 一 n 1 1 一一 O成 即一 S 一 c 一f t gN S 一f s 一2 c 3 4 巾已知条件易得 s 一4 1 N 1 当r H r N时 棚 2 可化为 r s i r 1 时 有 1 s 2 一 专 敞 存 N 满 足 式 维普资讯 数 学 教 学 研 究 2 0 0 4 年第 4期 i i 当r 一2 时 有 2 s 了 8 即 1 不存在 N满足 式 iii 当 r 一 3 时 有 3 s 即 了 1 仍然不存在 N满足 式 2 当 c 一 享 时 即 当 c 一 4 时 e t N s 一 4 2 c j 4时 即当c 4 时 得 s 4 时 丝 专 4 故 4 2 c 3 4 f 与 S 2 成 立 解法 2 将 一4 1 一 1 代人 式得 1 一 1 一 4 r 7 4 N 字 渭 字 0 q q 4 下 C o 矛 盾 3 当 r 4 且 c N 时 得 0 字 要 使 此 式 成 立 必 须 4 而c N 所以c 只可能取 2 或 3 当 c 一 2 时 满 足 1 的 自 然 数 不 存在 当 c 一 3 时 满 足 素 2成立 注 本题是以数列为背景的不等式综合题 球 解时从不等式人手 把它分成若干个子问题 再各个 击破 上述两种解法实质上都是分别构造以 S 或 1 为主元的一元二次不等式作为突破口 从而进 行分类探究 在探求常数c 时 渗透了分类讨论思想 由以上例子可以看出 解数列题的过程中蕴涵 着众多的数学思想方法 必须注意渗透 挖掘 领会 和脯用 所围面积何时最小最大 张敬坤 濮阳职业技术学院 南区 河南濮阳4 5 7 1 0 0 l I 口 J 题 瑶 出 已知氏 线 十 1 d 0 6 o 过点 1 日 2 求当n 6 为何值时该卣线J j 两坐标轴所嗣j角形 的面积最小 最小值是多少 解 山方程 y一1 知该直线与两坐标轴 门 的交点分别