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高一数学精讲 课程安排 第一讲 集合的含义及其表示第二讲 集合之间的基本关系第三讲 集合间的基本运算第四讲 函数的概念一第五讲 函数的的概念二第六讲 函数的图象和分段函数求值第七讲 函数的单调性第八讲 函数的最值第九讲 函数的奇偶性第十讲 指数函数和对数函数 第一讲集合的含义及其表示 1 1到5正整数 2 中国古典四大名著 3 高一10班的全体学生 4 我校篮球队的全体队员 知识点 我们把研究对象统称为元素 把一些元素组成的全体叫做集合 简称 集 1 集合的概念 下列是否能构成集合 高一2班很高的男生中国很长的河流接近于0的数 2 分辨集合 判断指定的对象能不能构成集合 关键在于能否找到一个明确的标准 练习1 下列指定的对象 能构成一个集合的是 很小的数 不超过30的非负实数 直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 的近似值 高一年级优秀的学生 所有无理数 大于2的整数 正三角形全体 A B C D 2 3 集合的表示方法 描述法 列举法 集合常用大写字母表示元素常用小写字母表示 如果a是集合A的元素 就说a属于集合A 记作a A 如果a不是集合A的元素 就说a不属于集合A 记作a A 4 集合与元素的关系 例如 A表示方程x2 1的解 2 A 1 A 5 集合元素的性质 确定性 集合中的元素必须是确定的 如 x A与x A必居其一 5 集合元素的性质 确定性 集合中的元素必须是确定的 如 x A与x A必居其一 互异性 集合的元素必须是互异不相同的 如 方程x2 x 0的解集为 1 而非 1 1 5 集合元素的性质 确定性 集合中的元素必须是确定的 如 x A与x A必居其一 互异性 集合的元素必须是互异不相同的 如 方程x2 x 0的解集为 1 而非 1 1 无序性 集合中的元素是无先后顺序的 如 1 2 2 1 为同一集合 5 集合元素的性质 确定性 集合中的元素必须是确定的 如 x A与x A必居其一 互异性 集合的元素必须是互异不相同的 如 方程x2 x 0的解集为 1 而非 1 1 无序性 集合中的元素是无先后顺序的 如 1 2 2 1 为同一集合 那么 1 2 1 2 2 1 是否为同一集合 5 集合元素的性质 重点练习 元素互异性问题 6 集合的分类 6 集合的分类 有限集 无限集 6 集合的分类 有限集 无限集 问题2 我们看这样一个集合 x x2 x 1 0 它有什么特征 显然这个集合没有元素 我们把这样的集合叫做空集 记作 6 集合的分类 有限集 无限集 问题2 我们看这样一个集合 x x2 x 1 0 它有什么特征 7 重要的数集 N 自然数集 含0 N 正整数集 不含0 Z 整数集Q 有理数集R 实数集 例题 例题1下列各项中 不可以组成集合的是 A 所有的正数B 等于2的数C 接近于0的数D 不等于0的偶数 例2若x R 则数集 1 x x2 中元素x应满足什么条件 例题 例2x R 则数集 1 x x2 中元素x应满足什么条件 解 x 1且x2 1且x2 x 例题 例2若x R 则数集 1 x x2 中元素x应满足什么条件 解 x 1且x2 1且x2 x x 1且x 1且x 0 例题 例3若方程x2 5x 6 0和方程x2 x 2 0的解为元素的集为M 则M中元素的个数为 A 1B 2C 3D 4 C 例3若方程x2 5x 6 0和方程x2 x 2 0的解为元素的集为M 则M中元素的个数为 A 1B 2C 3D 4 C 例4已知集合A x ax2 4x 4 0 x R a R 只有一个元素 求a的值与这个元素 例4已知集合A x ax2 4x 4 0 x R a R 只有一个元素 求a的值与这个元素 解 当a 0时 x 1 例4已知集合A x ax2 4x 4 0 x R a R 只有一个元素 求a的值与这个元素 解 当a 0时 x 1 当a 0时 16 4 4a 0 a 1 此时x 2 例4已知集合A x ax2 4x 4 0 x R a R 只有一个元素 求a的值与这个元素 解 当a 0时 x 1 当a 0时 16 4 4a 0 a 1 此时x 2 a 1时这个元素为 2 a 0时这个元素为 1 1 集合的含义 判断集合 2 集合的表示3 集合与元素的关系4 集合元素的性质5 集合的分类6 重要数集 课堂小结 第二节集合之间的关系 实数有相等关系 大小关系 类比实数之间的关系 集合之间是否具备类似的关系 新课 实数有相等关系 大小关系 类比实数之间的关系 集合之间是否具备类似的关系 新课 示例1 观察下面三个集合 找出它们之间的关系 A 1 2 3 B 1 2 3 4 5 1 子集 一般地 对于两个集合 如果A中任意一个元素都是B的元素 称集合A是集合B的子集 记作A B A B 1 子集 一般地 对于两个集合 如果A中任意一个元素都是B的元素 称集合A是集合B的子集 记作A B 读作 A包含于B 或 B包含A A B 1 子集 一般地 对于两个集合 如果A中任意一个元素都是B的元素 称集合A是集合B的子集 记作A B 读作 A包含于B 或 B包含A 这时说集合A是集合B的子集 A B 1 子集 一般地 对于两个集合 如果A中任意一个元素都是B的元素 称集合A是集合B的子集 记作A B 读作 A包含于B 或 B包含A 这时说集合A是集合B的子集 注意 区分 也可用 A B 1 子集 这时 我们说集合A是集合C的子集 A 1 2 3 C 1 2 3 4 5 B 1 2 7 1 子集 这时 我们说集合A是集合B的子集 而从B与C来看 显然B不包含C A 1 2 3 B 1 2 3 4 5 C 1 2 7 A x x是两边相等的三角形 B x x是等腰三角形 示例2 A x x是两边相等的三角形 B x x是等腰三角形 有A B B A 则A B 2 集合相等 示例2 A x x是两边相等的三角形 B x x是等腰三角形 有A B B A 则A B 若A B B A 则A B 2 集合相等 示例2 练习1 观察下列各组集合 并指明两个集合的关系 A N B N A x x2 3x 2 0 B 1 2 A 长方形 B 平行四边形方形 练习1 观察下列各组集合 并指明两个集合的关系 A N B N A B A x x2 3x 2 0 B 1 2 A 长方形 B 平行四边形方形 练习1 观察下列各组集合 并指明两个集合的关系 A N B N A B A B A x x2 3x 2 0 B 1 2 A 长方形 B 平行四边形方形 练习1 观察下列各组集合 并指明两个集合的关系 A N B N A B A B A B A x x2 3x 2 0 B 1 2 A 长方形 B 平行四边形方形 示例3 A 1 2 7 B 1 2 3 7 示例3 A 1 2 7 B 1 2 3 7 3 真子集 如果A B 但存在元素x B 且x A 称A是B的真子集 示例3 A 1 2 7 B 1 2 3 7 3 真子集 如果A B 但存在元素x B 且x A 称A是B的真子集 示例4 考察下列集合 并指出集合中的元素是什么 A x y x y 2 B x x2 1 0 x R 示例4 考察下列集合 并指出集合中的元素是什么 A x y x y 2 B x x2 1 0 x R A表示的是x y 2上的所有的点 B为空集 4 空集 示例4 考察下列集合 并指出集合中的元素是什么 A x y x y 2 B x x2 1 0 x R A表示的是x y 2上的所有的点 B为空集 4 空集 规定 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 示例4 考察下列集合 并指出集合中的元素是什么 A x y x y 2 B x x2 1 0 x R A表示的是x y 2上的所有的点 B为空集 4 空集 规定 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 B是A的真子集 题型一集合关系问题 2 讲解 写出集合 a b 的所有子集 写出所有 a b c 的所有子集 写出所有 a b c d 的所有子集 a b a b a b c a b a b c a c b c a b c d a b b c a d a c b d c d a b c a b d b c d a d c a b c d 讲解 写出集合 a b 的所有子集 写出所有 a b c 的所有子集 写出所有 a b c d 的所有子集 一般地 集合A含有n个元素 则A的子集共有2n个 A的真子集共有2n 1个 讲解 写出集合 a b 的所有子集 写出所有 a b c 的所有子集 写出所有 a b c d 的所有子集 一般地 集合A含有n个元素 则A的非空子集共有2n 1个 A的非空真子集共有2n 2个 讲解 写出集合 a b 的所有子集 写出所有 a b c 的所有子集 写出所有 a b c d 的所有子集 题型二集合的子集个数问题 题型三利用集合关系求值问题 例题1 例题2 例3已知A x x2 2x 3 0 B x ax 1 0 a0 若B A 求实数a的值 例题4 粉红色的回忆 不等式的回忆 例题1 教材第2页第四题例题2 第12页的解答题第2题 题型4利用集合关系求参数范围 作业来了 习题3 课堂小结 第三讲集合的基本运算 新课 示例 观察下列各组集合 A 1 3 5 C 1 2 3 4 5 6 B 2 4 6 新课 示例 观察下列各组集合 A 1 3 5 C 1 2 3 4 5 6 B 2 4 6 集合C是由集合A或属于集合B的元素组成的 则称C是A与B的并集 1 并集 定义 由所有属于集合A或B的元素组成的集合 称为集合A与集合B的并集 1 并集 定义 由所有属于集合A或B的元素组成的集合 称为集合A与集合B的并集 记作A B 即A B x x A或x B 1 并集 定义 由所有属于集合A或B的元素组成的集合 称为集合A与集合B的并集 记作A B 即A B x x A或x B A B 用Venn图表示为 新课 示例 观察下列各组集合 A 1 3 5 C 1 2 3 4 5 6 B 2 4 6 A B C 集合C是由集合A或属于集合B的元素组成的 则称C是A与B的并集 巩固一 设集合A 4 5 6 8 集合B 3 5 7 8 9 求A B 巩固一 设集合A 4 5 6 8 集合B 3 5 7 8 9 求A B A B 3 4 5 6 7 8 9 巩固二 设集合A x 1 x 2 集合B x 1 x 3 求A B 巩固二 设集合A x 1 x 2 集合B x 1 x 3 求A B x 1 1 2 3 A B x 1 x 3 巩固二 设集合A x 1 x 2 集合B x 1 x 3 求A B x 1 1 2 3 A A A A B 性质 A A A A B A 性质 A A A A B A A 性质 A A A A B B A A A 性质 示例 考察下列各集合 A 4 3 5 B 2 4 6 C 4 2 交集 示例 考察下列各集合 A 4 3 5 B 2 4 6 C 4 2 交集 集合C的元素既属于A 又属于B 则称C为A与B的交集 2 交集 定义 由两个集合A B的公共部分组成的集合 叫这两个集合的交集 2 交集 定义 由两个集合A B的公共部分组成的集合 叫这两个集合的交集 记作A B C x x A且x B 2 交集 定义 由两个集合A B的公共部分组成的集合 叫这两个集合的交集 记作A B C x x A且x B 读作A交B 2 交集 用Venn图表示为 定义 由两个集合A B的公共部分组成的集合 叫这两个集合的交集 记作A B C x x A且x B 读作A交B A B 例1A 2 4 6 8 10 B 3 5 8 12 C 6 8 求 A B A B C 例2设集合A y y x2 x R B x y y x 2 x R 则A B A 1 1 2 4 B 1 1 C 2 4 D 例2设集合A y y x2 x R B x y y x 2 x R 则A B A 1 1 2 4 B 1 1 C 2 4 D D A B x x A且x B A A A A A B B A 性质 重点一 集合的交集和并集运算 课堂小结一 A B x x A或x B A B x x A且x B A A A A A A A A A A B B A A B B A 1 交集 并集 2 性质 观察下列三个集合 U 高一年级的同学 A 高一年级参加军训的同学 B 高一年级没有参加军训的同学 问 这三个集合之间有何关系 观察下列三个集合 U 高一年级的同学 A 高一年级参加军训的同学 B 高一年级没有参加军训的同学 问 这三个集合之间有何关系 显然 集合U中除去集合A B 之外就是集合B A 可以用韦恩图表示 A U B 观察下列三个集合 U 高一年级的同学 A 高一年级参加军训的同学 B 高一年级没有参加军训的同学 一般地 设U是一个集合 A是U中的一个子集 即A U 则由U中所有不属于A的元素组成的集合 叫做U中集合A的补集 或余集 记作 补集 如 U