长方体网格上的三元连分式的插值.pdf

2 0 0 0年 6月 J un e 2 0 0 0 应用数学 与计 算数学 学报 C OM M o N APP L M ATH A ND COM PU T 一 第 l 4卷第 l期 Vol l 4 N o 1 长 方体 网格 上 的三 元 连 分 式 的插 值 潘 宝珍 上海 大学数 学 系 上海 2 0 0 4 3 6 摘要本 文利用 递推 公式 构造 了一 个 空 间长 方 体 阿格上 的三 元连 分 式 的插值 公 式 插 值 的存 在性 和 唯 性 得到 了证 明 一个 数 例 说 明 了插 值 方法 的有 效 性 关 键词 有理 插 值 长方体 网捂 三 元连分 式 1 插 值 问题 插值 亢 三 理 插 1 长方体 网格上 的三元 相理插值 在几何 造型 计算 机辅助 设计 和数值 分析 等领 域都 有直接 的应用 设 Z n b c d e g R Y 是定 义 于 Z上 三 元 实 函 数 点集 z i 0 1 n 叭 0 1 n 0 1 m 分别 是一 h 述区 间 n 6 c d e g 的任 意给定 的分划 并形 成空 间长方体 网格 m Y j i 0 1 一 n j 0 1 一 札 七 0 1 m 1 设待插 值 的三 元函 数集 为 m 0t 聊 m 本 文要构 造三 元有理 函数 Y Z 其 中 X n 1 一Y 一 1 日 0 Y 3 B t 训 c f l c f c 2 c f z 一u 上 B Y z c 本 文 2 0 0 0年 1月 7日收到 国家 自然科学基 金 资助项 目 二 一 一 盘 维普资讯 应 用 数学 与计 算 数学 学报 l 4卷 这 里 n 昔 a 2 一 等 n o F a 1 其 中 中的每一有 理 函数 2 O 1 J 一 n满足 d e g f b r r n d e g q i j z D g 一r 5 2 插 值 的存 在 唯 一 性 定理 1 对 于每 一个空 间长方 体 网格 和插 值集 都 唯一存在 有理 其 中 d e t P j z r d e t q J m r 满足 插值 条件 五 Q n m 玑 一 g j 0 i 0 1 n 0 1 一 r n 证 明设 r由 5 给 定 易知存在唯一 的函数 其 中 d e g P n s r m d e g q 0 0 Sm r 使 k q o o z 一P o o z k 0 0 1 一 m 6 在 中令 Y o 于是 珈 轴 0 1 n o l 假 设存 在唯 一有有 理函 c 1 f l j 使 案 卅 满 足 0 Qf 1 m z Y o 一 一 l m Y o 0 i 0 1 f 一1 k 0 1 一 m 8 由三项递推 关 系 m Y O 2 1 0 0 1 m Y O 2 扣 一 1 2 Y o 一 1 Q l丫 兀 z Y o 2 一 1 0 0 Q 1 竹 l 扣 Y o 2 x c 1 Q c 2 Y o 1 0 然后 形成关 于有 理 函数 0 的 m 2 个 未 知系数 的向量齐 次线性 方程 妇 0 缸f 一 1 Y o Q 一 2 m Y O 一 一 2 m Y O 0 魂 Y o Q 1 m Y o 一 l m f Y o 0 k 0 1 方程组 9 有非 平凡解 有理 函数 o Q g o 一 g o 糟 是 被唯 一 确定的 从 8 9 得 到 0 i 0 1 Z 0 1 m 1 0 维普资讯 1期 潘 宝 珍 长 方体 网格 上 的三 元连 分 式 的插值4 5 由连 分式 的结果 可有 丽x x o 1 1 于是 由归纳 法可得 磊 1 2 注意到有 理 函数 G o 是存在 且唯 一 的 从 而 3 中有理 函数 ao 0 1 被完全 确 定 在 中令 z o 用 同样 的方 法 可完全 确定 3 中 的 C o t z 0 1 n这 样 3 中 G 为 已知 在 中再令 g Y 因 G o 0 z C1 0 z C o 为 已知此 时 3 可写 成 其 中 l z C o o z 墨 易 知 存 在唯一 的有理 函数 de gP1 1 r m de g q1 1 m一 1 0 l 一蛳 cl l z R x l l f 1 3 1 即 1 k Q 征1 l 一 z 1 l z k 0 0 1 m 1 4 确定d 葺后 在 中分别令 和 z 但同时者有 z Y o 用两 次归纳法 可完全确定 3 中锩 3 构 造 插 值 公 式 定 义 0 l o 0 z 蜥 1 5 k O z 0 k O Y O 1 6 1 7 0 q 蜘 一 一 扛 一 1 一 L 使 维普资讯 应用 数学 与 计算 数 学学 报 l 4卷 其 中 乩 蜘 1 8 妒f l f 1 o x o f 一 2 f Y O 矾一 2 Z O 一 f l f l 0 o 一 1 Y 一 2 一 f 一 1 f 一 1 o X o f 一 2 f Y O 一 l 十 f l f 1 0 z 0 一 一 1 0 Y 卜l o X o 蜘 0 当 r 1时 f f ffX o f y o Z O Z 1 1 一 句 f o X o f y o Z 1 一 f f 0 0 z f 蛳 0 f z 0 Y O 0r 一 一l 如果 z CI C r C 存在 如上 定义 D Y 一Y z r o 则把 它称 为 f x Y 的第 J 的部 分 反差商 由三 元反差商 公 式 1 5 一 2 3 可构 造如 下 的三元 连 分式插值公 式 r m 6 其 中 f 1 9 1 f 2 O 1 f 2 1 f 2 2 f 2 4 Y Y t t O l n 2 5 而 z 0 一 Zm l 一 x o f Y O 如 T I 2 6 P 维普资讯 l期 潘宝 珍 长 方体 网格 上 的三 元连 分 式 的插 值 4 7 d k l 妒 f 0 0 剐m z z Y o z o m d l z i 0 z o z Y o 0 一 一 1 珈 Z O Z 1 Z 1 I 2 n 2 7 f m x o 珈 翱 m o Z O Z 1 z 1 I 2 n 2 8 定理 2 若 按三元 反差商 公式 1 5 一 2 3 在构 造 r n m z Y z 2 4 的过 程 中 没 有 出现 分母 为零 的情况 则对插 值数据 成立 m z m 证 明在 2 4 中代入插 值 点 r z i x y j z k 或 戤 生 由递推 公式 1 5 2 4 可得 r z 蜥 4 誊 t 劲I 蕞 Y J z 旦 i 6 z 1 数据 表 令 X O 0 z 1 1 Y o 0 Y l 1 z o 0 l 1 数据 表 0O Z1 0 蛳 1 1 o 1 2 3 z 1 0 2 3 I z 1 o 一 3 z 1 玑 一 2 4 2 由定 理 2得 到插值 连分式 r n z 珈 Z Z o 妒 1 10 0 z o z 1 Y O 翱 素 上 二 l o Y O Y l 石 者 二 二 1 l o X o I 0 1 硒 五 口 f 2 0 维普资讯 4 8 应用 数学 与 计算 数学 学 报 1 4卷 递推 公式 1 5 一 2 3 计 算 巾 一 f l 一2 z a一4 x b 2 y c 2 1 x y d 9 6 46 0 z J 7 0 8z 2 3 51 z3 其 中 9 6 4 6 0 z 7 0 8 z 一3 5 1 z b 一 1 2 4 4 z一3 9 z c 4 8 1 5 8 z l l T z d l 6 4 2 z 一2 7 z 易验 证 r x i J z J 0 1 参考文 献 口 1 潘宝 珍 三 角 网络上 的矩 阵值 有理 插值 上 海 大 学学报 1 9 9 9 1 0 5 6 5 4 4 5 4 8 2 J潘 宝珍 郭伟 娟 一 个二 元 矩 阵值 插 值 连分 式 展 开式 J 应 用 数 学与 计算 数 学学 学 报 1 9 9 6 l O 2 8 3 8 6 嗍 顾 传青 潘宝珍 二元矩 阵连 公式逼近对 偶展 开式 I I I J 上 海大学 学报 1 9 9 7 3 2 1 1 9 1 2 4 G u Chu a n qi ng M uki v a r i a t e g e ne r a l i z e d i n v e r s e v e c t o r v M u e d r a t i o n al m t e r p o l a n t s J Co m p u t Ap p l Ma t h 8 4 1 9 9 7 1 3 1 4 6 旧 朱 功 勤 顾传 青 檀 结庆 多 元有 理逼 近 方法 M 北 京 中 国科 学 技 术 出版 社 1 9 9 6 4 6 5 8 王 仁 宏 数值 有 理逼 近 上 海科 学技 术 出版社 1 9 8 0 1 2 5 Tr i v m i a t e Co n t i n u e d F r a c t i o n I n t e r po l a t i o n On Re c t a n g ul a r Pa r a l l e l e pi pe d Gr i d B AOZ HEN PAN De p a r t me n t f Ma t h e ma t i c s S h a n g h a i U n e v e v s i t S h a n g h 2 0 0 4 3 6 A bs t r ac t I n t h i s p a p e r 1 b y me a n s 0 f s o me r e c u r s i v e r e l u t i o n s a t r i v a r i a t e c o n t i n u e d f r a c t i o n i n t e r p o l a t i on f or mul a i s c o s t r u c t e d o n r e c a ag u l a r pa r a l l e l e p i pe d g r i d Exist e n c e an d un i qu e ne s s of i n t e r po l a