北京邮电大学工程数学概率部分复习.pdf

北京邮电大学网络教育学院 通信工程专业 本科 工程数学 概率论部分期末复习 工程数学 概率论部分期末复习 一 随机事件及其概率 一 随机事件及其概率 1 事件 了解基本概念 随机实验 随机事件 必然事件 不可能事件 基本事件 样本 点 样本空间等 掌握事件间的关系与运算及运算规律 2 事件的概率 掌握概率的定义及性质 3 条件概率 掌握条件概率的定义与计算 4 独立性 掌握事件独立的定义 掌握 n 重贝努里试验中 事件 A P A p 出现 k 次 的概率的计算公式 01 1 kkn k nn p kC p qpqp 例 判断 A B C 为三事件 则ABCABCABC 表示 A B C 三事件恰好有一 个发生 分析 结论正确 例 设 A B C 为三事件 则 A B C 三事件没有都发生 表示为 解 A B C 三事件没有都发生 意味着 A B C 三事件至少有一个不发生 应为 ABC 例 判断 若事件 A 与 B 同时发生时必导致事件 C 发生 则 CABAB 分析 因为 A 与 B 同时发生时必导致事件 C 发生 则有 所以 结论不正确 ABC CABC 例 10 件产品中有 4 件次品 从中任取 求 3 件产品中至少有 2 件次品的概率 解 P 3 件产品中至少有 2 件次品 P 恰好有 2 件次品 恰好有 3 件次品 P 恰好有 1 件次品 P 恰好有 2 件次品 2130 4646 32 1010 1 3 C CC C CC 例 一批产品共 20 件 其中有 4 件不合格 从中任取 2 件进行检查 如果发现有不合格 产品就拒绝接受这批产品 求该批产品被拒绝接受的概率 解 设 A 产品被拒绝接受 Bi 2 件产品有 i 件不合格产品 i 0 1 2 则 12 ABB 1212 P AP BBP BP B 1120 416416 22 2010 7 19 C CC C CC 1 例 掷一枚均匀的骰子 3 次 则 P 恰好出现两次 6 点 A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 5 72 解 因为 P 每次出现 6 点 1 6 P 恰好出现两次 6 点 2 2 3 155 667 C 2 所以选 D 例 设 A B 为两个互不相容事件 且 则 0P B P A B 解 因为 A B 为两个互不相容 即AB 所以 P ABP P A B P BP B 0 例 设 A B 为两个事件 且 0P AB9 0 6P A 0 5P B 求 P B A 解 因为 1 P ABP BAB P B A P AP A 1 P BP AB P A 而 0 60 50 90 2P ABP AP BP AB 所以 0 50 2 0 75 1 1 0 6 P ABP BAB P B A P AP A 例 设 A 与 B 为两相互独立事件 且 0 6P A 0 7P B 则 P AB A 0 36 B 0 04 C 0 88 D 0 12 解 1 1 P ABP ABP A P BP AP B 0 4 0 30 12 所以选 D 二 随机变量及其分布二 随机变量及其分布 1 随机变量及其分布函数 了解随机变量及其分布函数的概念 性质 掌握分布函数与随 机变量取值概率的关系 2 离散型随机变量 掌握离散型随机变量分布律的性质 掌握分布律的求法 掌握离散型 随机变量分布函数的求法 3 连续型随机变量 掌握连续型随机变量概率密度的性质 掌握概率密度与分布函数的关 系 4 几个重要分布 掌握以下常用随机变量的分布 2 1 二项分布 B n p 分布律 0 1 2 kkn k n P XkC p qkn 其中01 1pqp 2 泊松分布 分布律 0 1 2 k P Xkek k 其中0 3 均匀分布 U a b 概率密度 其它 0 1 bxa abxf 4 正态分布 2 N 概率密度 xexf x 2 1 2 2 2 其中 0 为常数 标准正态分布 0 1 N 2 2 1 2 x xe 2 2 1 2 t x xedt 1 xx 公式 若 2 XN 则有 ab bXaP 5 随机变量函数的分布 掌握离散型随机变量函数的分布律求法 掌握连续型随机变量函 数的概率密度的求法 分布函数法 6 二维随机变量及其概率分布 1 二维随机变量及其联合分布 了解二维随机变量及分布函数的概念 性质 2 二维离散型随机变量 掌握二维离散型随机变量分布律的性质及概率的计算 3 二维连续型随机变量 掌握二维连续型随机变量概率密度的性质及概率的计算 4 边缘分布 了解边缘分布函数的概念 掌握二维离散型随机变量边缘分布律的求法 掌握二维连续型随机变量边缘概率密度的求法 5 随机变量的独立性 了解随机变量独立的概念 掌握两类随机变量独立的充分必要条 件 例 判断 设随机变量 X 的概率密度为 0 0 xxk f x 其他 则常数 k 1 分析 因为 0 1 d k df xxxx 22 0 22 k xk 所以2k 结论错误 例 判断 设随机变量 X 的概率密度为 2 01 0 kxx f x 其他 则常数 k 2 3 分析 因为 1 0 1 ddf xxkxx 1 2 0 22 kxk 所以2k 结论正确 例 设 1 2XN x 为标准正态分布的分布函数 则 13PX A B 3 1 2 2 2 1 C 2 2 1 D 2 2 1 解 因为 1 2XN 所以 13PX 3 11 1 22 22 221 所以选 D 例 设随机变量X的分布列为 X 1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 求 1 X 的分布函数 2 F x 2 1YX 的分布列 3 二维随机变量 X Y 的分 布列 4 0P XY 解 1 当时 1x 0F xP XxP 当时 10 x 1 1 2 F xP XxP x 当01x 时 1 0 F xP XxPXX 115 1 0 236 P XP X 当1x 时 1 0 1 F xP XxPXXX 111 1 0 1 236 P XP XP X 1 总之 0 1 1 10 2 5 01 6 1 1 x x F x x x 4 2 因为 X 1 0 1 Y 2 1 2 P 1 2 1 3 1 6 所以 Y 的分布列为 Y 1 2 P 1 3 2 3 3 ijiji xXyYPxXPyYxXP 1 10P XY 1 1 2 2 P XY 1 0 1 3 P XY 0 20P XY 1 10P XY 1 1 2 6 P XY Y X 1 2 1 0 1 0 1 2 1 3 0 0 1 6 4 115 11 20 1 236 P XYP XYP XY 例 设随机变量X的分布列为 X 1 0 1 P 1 2 1 4 1 4 求 1 X 的分布函数 2 F x 2 YX 的分布列 3 二维随机变量 X Y 的分布列 4 0P XY 解 1 当时 1x 0F xP XxP 当时 10 x 1 1 2 F xP XxP x 当01x 时 1 0 F xP XxPXX 113 1 0 244 P XP X 5 当1x 时 1 0 1 F xP XxPXXX 111 1 0 1 244 P XP XP X 1 总之 0 1 1 10 2 3 01 4 1 1 x x F x x x 2 因为 X 1 0 1 Y 1 0 1 P 1 2 1 4 1 4 所以 Y 的分布列为 Y 0 1 P 1 4 3 4 3 ijiji xXyYPxXPyYxXP 1 00P XY 1 1 1 2 P XY 1 0 0 4 P XY 0 10P XY 1 00P XY 1 1 1 4 P XY Y X 0 1 1 0 1 0 1 2 1 4 0 0 1 4 4 113 00 01 1 424 P XYP XYP XY 6 例 判断 设二维随机变量 X Y 的分布列为 则 X 与 Y 相互独立 分析 Y X 0 1 2 1 0 1 0 01 0 03 0 06 0 02 0 06 0 12 0 07 0 21 0 42 0 1 0 2 0 7 0 1 0 3 0 6 因为 ijij pp p 所以 X 与 Y 相互独立 结论正确 例 判断 设 X Y 的概率密度为 01 01 0 xyxy f x y 其他 则 X 与 Y 相互独立 分析 X fxf x y dy 1 0 0 0 1xy dyx 其他 1 01 2 0 xx 其他 Y fyf x y dx 1 0 0 0 1xy dxy 其他 1 01 2 0 yy 其他 XY f x yfx fy 所以 X 与 Y 不相互独立 结论不正确 例 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 02 02 0 kxyxy f x y 其他 X 1 求常数 k 2 求关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度fx Y 与fy并判定 X 与 Y 是否相互独 立 3 求 P XY 7 解 1 因为 1 f x y dxdy 22 00 kxydxdy 22 00 kdyxydx 2 22 0 0 1 2 kyxdy 2 0 2kydy 22 0 4kyk 所以 1 4 k 2 因为 2 0 1 4 X fxf x y dyxydy 2 2 0 11 02 82 xyxx 所以 1 02 2 0 X xx fx 其他 因为 2 0 1 4 Y fyf x y dxxydx 2 2 0 11 02 82 yxyy 所以 1 02 2 0 Y yy fy 其他 XY f x yfx fy X 与 Y 相互独立 3 P XY 2 00 1 4 x xydxdy 22 2 000 0 111 442 x x dxxydyxydx 22 34 00 11 832 x dxx 1 2 三 随机变量的数字特征三 随机变量的数字特征 1 数学期望 掌握随机变量数学期望的定义 性质与计算 掌握随机变量函数的数学期望 的计算 2 方差 掌握随机变量方差的定义 性质与计算 熟记二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布的数学期望 方差与其参数的关系 1 XB n p E Xnp D Xnpq 2 X E XD X 3 XU a b 12 2 2 ab XD ba XE 4 2 XN 2 E XD X 8 例 判断 设随机变量 X 的概率密度 3 8 2 0 x f xx 其他 则 4E X 分析 3 2 2 88 4E Xxf x dxxdx xx 结论正确 例 设 XB n p 如果 2 4E X 1 44D X 则 n p 分别为 A 4 0 6 B 6 0 4 C 3 0 8 D 8 0 3 分析 因为 XB n p 所以 2 4 1 1 44 np npp 6 0 4np 所以 选 B 例 设 X 与 Y 独立且 求 1 2 XU 3 4 YN E XY 解 因为 1 2XU 所以 3 4YN 123 22 E X 又因为 X 与 Y 独立 所以 3E Y 9 E XY E X E Y 4 5 2 例 设随机变量 X 的密度函数为 其他 0 22 cos xxA xf 求 1 系数 A 2 4 0 XP 3 求 X 的分布函数 4 F x E X D X 解 1 2 2 1 dcos df xxAx x 2 0 2cos dAxx 2 0 2 sin2AxA 1 2 A 于是 其他 0 22 cos 2 1 xx xf 2 4 0 1 0cos 42 PX xdx 4 2 4 sin 2 1 sin 2 1 4 0 x 3 当 2 x 时 0F x 9 10 当 22 x 时 x F xf