面积法知识梳理.docx

面积法解题总结一、 “比比两个共边三角形的面积”（4种情形，要非常熟悉）共边定理：设直线AB与PQ交于M，则 （1）（为什么？过渡法）例题1：证明：三角形的重心（三条中线的交点）到顶点的距离，等于它到对边距离的2倍。已知：三角形ABC，M、N分别为AB、AC的中点，求证：CG=2GM。（不使用三角形、四边形等后续知识，从面积角度考虑）例题2：在的三边BC、CA、AB上，分别取点X、Y、Z使得，。连AX、BY、CZ三条线，围成三角形LMN，如图。问的面积是面积的几分之几？（要求书写过程和严格推理，仅有答案视作不会）例题3：四边形ABCD中，AD=BC，另两边AB、CD的中点分别为M、N。延长AD、BC分别与直线MN交于P、Q，如图。求证：PD=QC。例题4：（1）用面积法证明塞瓦定理：如图，已知三角形ABC中AX、BY、CZ交于一点P，试证：（2）用面积法证明梅内劳斯定理：如图，已知三角形ABC被一条直线所截，与AB、AC、BC分别交于X，Y，Z点，试证：（3）上述两个定理的逆命题成立吗？想一想怎么证明。例题5：（不等式也可以用面积证）在的BC边上任取一点P，过P作直线与AC边交于X，与AB边的延长线交于Y，求证：二、 从反面想一想（共边定理的前提是“设直线AB与PQ交于M”，但是如果AB与PQ不相交呢？这样提问题，叫做从反面着想。）能不能开辟出一番新天地呢？问题1：求证：若P、Q两点在直线AB同侧，且，则直线PQAB。（反证法？）问题2：反过来，若已知直线PQAB，试证。（反证法，可以利用问题1结论来证明）例题1：证明：平行线截线段成比例。如图，PQBC，求证：。例题2：在平面上给定两点A、B和平行于AB的一条直线，只用直尺，怎样找出线段AB的中点来？也就是要证明：已知线段AB和一条平行于AB的直线l,取不在AB上也不在l上的一点P，作直线PA、PB分别与l交于M、N，连AN、BM交于O，连PO交AB于Q。求证：AQ=BQ。例题3：已知A、B、C在一直线上，X、Y、Z在一直线上，并且，。求证：。三、 井田问题一块不规则的田地，如图，在每条边上都取三等分点，再把两双对边上的三等分点连起来，成了一个井字形。井字形把这块田分成9小块。由于四边形不规则，这9小块的面积有大有小。但是，巧的是，无论如何，正中间那一块的面积，恰是四边形ABCD面积的九分之一！为了解决这个问题，我们分两步证明：（1） 先证明中间长条的面积四边形KLGH的面积是ABCD面积的三分之一；（需重新画图，简化图形，便于思考）（2） 再证明M、N、O、P分别是LG和KH的三等分点，从而用（1）中结论，四边形MNOP的面积是中间长条KLGH面积的三分之一，即整个四边形ABCD的九分之一。（需重新画图，线段少，便于思考）至此，井田问题就解决了。我们从（2）的解法中总结出：定比分点公式：设线段PQ不与直线AB相交，如图，T在线段PQ上并且PT=，则证明：若PQAB，则=，命题显然成立。于是可设直线PQ与AB交于M，如图所示。由共边定理可得：从而，由比例的性质，有即将看作未知量，解得：，证毕。如果你有定比分点公式作为基础，井田问题的（2）就一点都不难了，并且你还能推广到四等分点、五等分点、一组对边四等分另一组对边五等分的情况例题：若四边形ABCD是梯形，AB，并且已知上底CD=AB，且ABCD的面积为S。E、F、G、H、I、J、K、L为各自所在边的三等分点。试计算井字形分成的9块面积各是多少？四、消点法使用消点法的要点是：（1） 把题中涉及的点按作图过程排个队。作图过程中先出现的点在前面，后出现的点在后面。（2） 把要解决的问题化为对某个式子的处理。（3） 从要化简的式子中，逐步消去由约束条件产生的点，后产生的先消去。（4） 消点时一方面问自己这个点是怎么产生的？另一方面结合图形，发现图形提示给我们的捷径。例题1：求证：平行四边形对角线相互平分。分析：画图的过程就体现了题中的假设条件。如图，它可以这样画出来：（1） 任取不共线三点A，B，C；（2） 取点D使；（3） 取AC，BD的交点O.由此，图中五个点的关系就很清楚：先有A，B，C，然后才有D。有了这四点后才能有O。这种点之间的制约关系，对解题至关重要。要证明AO：CO=1，想办法把左端三个几何点A，C，O统统消掉，问题就水落石出了。最晚出现的是O，点O是由AC，BD相交而产生的，可用共边定理消去点O。下一步轮到消去点D，根据D的来历：，故，故。于是得：证明：，即证。用消点法也可以证明看起来很困难的问题，比如：例题2：（帕普斯定理）已知A、B、C三点在一直线上，X、Y、Z三点也在一直线上。直线BX、AY交于P，BZ、CY交于Q，AZ、CX交于R。求证：P、Q、R三点在一直线上。五、总结许多同学觉得平面几何难，难就难在平面几何千变万化，很难找到解决问题的通法，不是光靠“狂算”能够解决问题的，要具体问题具体分析。面积法知识并不多，它只是一个载体，我们从中锻炼了逻辑推理能力，体会平面几何中画图的重要性：图中哪些是“自由点”，哪些是受条件约束的点？而每个点是如何产生的，消点法的思想在几何中是广泛应用的，在你遇到困难的时候，不妨问问自己这些问题，可能问题就水落石出了。此外，我们学会了提问题的方式：（1） 这个问题反过来对不对？（从反