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2-5 曲線下的面積(甲)曲線下的面積例子：求f(x)=x2的圖形，直線x=1，y=0所圍成的一個區域R的面積。一般而言，要計算函數f(x)的圖形與直線y=0,x=a,x=b所圍成的區域S的面積時(假設f(x)0，xa,b)，可依上例分成三步驟：第一步：分a,b為n等分，每等分長=第二步：計算下和=Ln=(m1+m2+mn)計算上和=Un=(M1+M2+Mn) 對於i=1,2,3,nmi=f(x)在的最小值=下矩形的高。Mi=f(x)在的最大值=上矩形的高。故LnSUn，nN第三步： =A (夾擠原理)根據上面三個步驟，可得區域S的面積為A。例題1 y=f(x)=x3與y=0、x=1、x=2圍成之區域為R，若把區間1,2分成n等份，所得的n個等寬的長條，令長條之面積上和為Un，下和為Ln。則(1)Un=？ (2)Ln=？ (3)R的面積。Ans：(1)Un=+ (2)Ln=+ (3)例題2 已知圓x2+y2=a2，其面積為pa2，試利用分割逼近的方法求橢圓+=1的面積。 Ans：abp例題3 已知某運動質點的速度函數y=f(t)=t2+4t，試求時刻t=0到t=2所作的位移。Ans：(練習1) 函數f(x)=9-x2之圖形與直線x=0、x=2、y=0圍成區域S，若把區間0,2分成n等份，所得的n個等寬的長條，令長條之面積上和為Un，下和為Ln。則(1)Un=？ (2)Ln=？ (3)S的面積。Ans：(1) (2) (3)(練習2) 已知在圓x2+y2=25內含一個橢圓 + =1 ，設圓內部在兩直線x=1、及x=2之間的面積為R1，而橢圓內部在此兩直線之間的面積為R2，則=？ Ans：(練習3) 已知某一區域t年的人口變化率為f(t)=100+500t，0t4，試求這4年內的人口共增加多少人？Ans：4400人例題4 一圓錐體之底面積為A，高為h，求證其體積=Ah。例題5 試證明：半徑r之球體積為pr3。綜合練習(1) 已知某一外文的單字學習課程，在t小時的學習速度函數為f(t)=-t2+8t，0t5，試求前3個小時內共可學會多少個單字？ (2) 試求拋物線y=x2+2x-3與x軸所圍成的圖形區域面積。(3) 試求函數f(x)=-x2+4x的圖形與直線y=2x所圍成的區域面積。(4) 直角三角形之三邊長分別為3,4,5，(a)以為軸旋轉一周掃過之部分的體積=？(b)以為軸旋轉一
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