3.理：数列的化归2.doc

2数列的化归与分析【知识梳理】 1两个恒等式等差恒等式(裂项求和)：“()()()()()” 例1已知数列的首项1，当n2时，2，求通项公式 等比恒等式(裂项求积)：“”例2已知数列的首项1，当n2时，求通项公式 2常数列：，所以：数列是常数列得11，所以：又如： 2构造新数列：等差、等比数列是主干知识，对于一个非等差、等比数列，通过我适当的化归转换为等差、等比数列的新数列，是高考永恒主题；23数列是特殊的函数，其自变量为正整数如没有意义，但有意义整数、整除分析法：分解为“整数分数”形式 等差、等比分析法：等差、等比数列中的项是由对应的函数决定的，并且自变量是正整数，成为命题的切入点奇、偶分析法：数列的自变量n是正整数，按被2除的余数分类为0(偶数)，1(奇数)，当负1的n次幂出现时，奇、偶分类成为必然的方法简单化原则，有理分析法与反证法【主干知识解析】1（2010、重庆、理21）在数列中，其中实数（1）求的通项公式；（2）若对一切有，求的取值范围 解：解：由，猜测下用数学归纳法证明当时，等式成立；假设当时，等式成立，即，则当时，综上， 对任何都成立.又解：由原式得令，则当时， ，因此，又当时上式成立（2）解：由，因，所以，或 先讨论时的情况，易知因为，所以有：，因此由对一切成立得当时，显然又因为单调递增，所以对一切成立因此由对一切成立得：从而的取值范围为又解：，所以对恒成立记，下分三种情况讨论当，即或时，代入验证可知只有满足要求；当时，抛物线开口向下，因此当正整数充分大时，不符合题意，此时无解；当，即或时，抛物线开口向上，其对称轴必在直线的左边. 因此，在上是增函数所以要使对恒成立，只需即可由解得或结合或得或综合以上三种情况，的取值范围为 2（2010、新课标、理17）设数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和 解：（1）当时，又，所以（2）由知： ：，即 3（2010、全国1、理22）已知数列中，（1）设，求数列的 通项公式；（2）求使成立的的取值范围 解：（1），所以，所以是首项为，公比为4的等比数列，即（2）又用数学归纳法证明：当时当时，命成立；设当时，则当时，由、知，当c2时，当时，令，由，得当时，当时，且于是，当时，因此不符合要求所以c的取值范围是4（2011、浙江、理19）已知公差不为0的等差数列的首项为()，设数列的前项和为，且，成等比数列（1）求数列的通项公式及；（2）记，当时，试比较与的大小解：（1）设公差为，由因为故通项公式 ，（2），当时，所以：所以：时，时， 5（2011、山东、理20）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前n项和解：(1)当时，不合题意当时，当且仅当，时，符合题意当时，不合题意因此所以公比，(2)因为 当时， 当时， 综上所述， 6（2011、江苏、T20）设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项和为已知对任意整数，当整数时，都成立(1)设，求的值；(2)设，时，求数列的通项公式解：（1）当时，即，又，所以当时，（2）当，且时，且 两式相减得，即所以当时，成等差数列，且也成等差数列从而当时，（*）且，所以当时，即，所以当时，成等差数列，从而，故由（*）式知，即当时，设当时，从而由（*）式知，故从而，于是因此，对任意都成立，又由可知，且解得因此，数列为等差数列，由知：所以数列的通项公式为 7（07、江苏）已知 是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和（1）若是大于的正整数，求证：；解：设的公差为，由，知，其中：（1）由【（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项】解：，由或，又是正整数，是整数是整数下证：数列中任意一项，都是数列中的项若1数列中任意一项，都是数列中的项显然否则：1，与矛盾若，与题设不合；当时，由现在只要证明存在正整数，使得在方程中的有正整数解即可在方程：中的有正整数解即可 为正整数当时，与数列中的第“”项相等，从而结论成立【（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由】解：设数列中有三项成等差数列，则有整理这个方程：下面设计，的值，使关于的方程有解取3，1因为（舍），所以：存在，使得中有三项成等差数列 8（07、福建）等差数列的前项和为（1）求数列的通项与前项和；（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：（1）由已知得（2）由，假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则即与矛盾所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列 9(2011、水果湖高中、3月) 已知数列的首项对任意的，定义（1）若，求；(2)若()其中，()(1)当a1，b2时，求数列前项的和；(2)当a1时，求证中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次 解：(1)由 ，把上面三式相加有：()110 (2)记数列前项和为由()() 由a1，b21，2，2，1，则有：，1，22，1，() 下求数列前项的和：当时，；当时，所以：由a11，1，则有：，又由 ，把上面各式相加有：() 1 1，其中，为整数，1，6所以：当时，数列是以为首项，以为公差的等差数列因为0，所以：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次 10(98、全国)已知非零等差数列中，1，且，成等比数列（1）求公比；（2）设，成等比数列，求下标构成的数列的通项公式解：(1) 2； (2)对于等差数列：(1) ；又是等比数列的第项(1) 注：等差数列中的部分项构成了等比数列，可以求出这些项的下标构成的数列的通项公式这是一个性质】 11(2010、江苏、19) 设各项均为正数的数列的前项和为，已知，数列是公差为的等差数列求数列的通项公式(用，表示)；设为实数，对满足的任意正整数、，不等式都成立求证：的最大值为 解：(1)由数列是公差为的等差数列 又 又当1时，由 (2)由() 因为，所以min因为恒成立min的最大值【注：等号问题】下证：的最大值不能用反证法假设的最大值【难点：怎样设计等差中项及其应用】设是偶数，由，不妨设()成立的必要是：，与题设为任意正整数矛盾所以：的最大值 12（08、江苏）（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，设将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列当n4时，求的数值；求的所有可能值；解：（1）设此四项依次为：，即：，2，3若连续三项既为等差数列又为等比数列，则公差d0，与题设不合因此当n4时，只可能删第二项或第三项当删去的为，则有为等比数列4；当删去的为，则有为等比数列1因此4，或1 因为若连续三项既为等差数列又为等比数列，则公差d0，与题设不合所以当数列删去某一项后，余下的项不能有原数列中的连续三项n最大为5，且此时只能删去第3项，否则有连续三项既成等差又成等比数列当为等比数列时，不满足题意所以n4 【（2）求证：对于一个给定的正整数n(n4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列】 证明：假设对于某一个，存在一个公差为的项等差数列，其中某三项：，成等比数列，化简可得恒成立的等式：恒成立 因为，所以、或者全为0，或者全不为0，且，矛盾，且(有理数)为一个有理数所以：当为一个无理数时，即有其中任意三项均不成等比数列 13（08、湖南）数列满足1，2， （1）求，并求数列的通项公式； （2）设证明：当时， 解:（1）由1，2， 当时，数列是首项为1、公差为1的等差数列； 当时，数列是首项为2、公比为2的等比数列 由 所以数列的通项公式为（2）由， 得， 所以 命题：“当时，不等式” 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，注：()的证明，可以用二项式定理 14(2011、天津、理20) 已知数列与满足：，且(1)求的值；(2)设，证明：是等比数列；(3)设，证明：解(1)又，(2)证明： ，得将代入，可得，即，又因此是等比数列(3)证明：由(2)可得，于是，对任意，有， 累加：，即上式当时也成立由式得从而，所以，对任意，对于n1，不等式显然成立15(2012、武汉、元月调考、理19) 已知数列满足： (1)设，证明：数列为等