基于建模思想的小学数学教学范式研究

基于“建模思想”的小学数学教学范式研究一、问题与挑战1、旧教材呈现方式及其带来的问题。从上世纪60年代以来，我国的小学数学教材编写的呈现方式有了根本性的改变，教材的编写采用例题的方式，即某一知识点的学习内容，以其中一道典型题目的讲解为重点，后续安排的练习内容都是围绕加深例题的理解、掌握而设计的，每一个练习的内容又根据学生接受的能力，分为基本题、变式题与综合题等，这些练习题的安排其根本目的是让学生掌握例题所呈现出来的知识点。经过几十年广大教师的教学实践，例题式的编排方式已经形成了一个课堂教学的基本模式：例题铺垫、例题导入、例题讲解与例题练习。应该说，例题式编排形式的出现，对规范课堂教学，促进学生掌握例题的内容以及提高课堂教学效率都有其积极的作用。教师通过对例题标准格式的讲解，指导学生掌握要点，并使课堂教学的过程基本在教师控制下。学生可以模仿例题的格式、模仿例题的解题思路，并根据教师提供的范例，按照事实上的格式进行解题，从而掌握课堂学习的内容。但是，例题式教材编写的呈现方式也存在着弊端：由于标准例题的出现，使一部分教师认为数学的学习就是理解例题、掌握例题以及会解答类似例题的习题。所以，在课堂上经常可以看到这样的情况，为让学生掌握一道例题的解法，教师会安排各种不同形式的练习题让学生练习，有些题目的练习甚至于出现十次以上的现象。对学生而言，数学的学习就是解答教师提供的习题，完全模仿教师的思路，至于这些习题来自哪里，可以怎样应用，学生则知之甚少，或一无所知，从而局限了学生思维的发展。教师教的例题、学生做的习题可以说大部分都是纯数学的问题，和生活实际割裂开来的，学生只知道做叙述风格一样的题，造成了思维定势，影响了学生创造力的开发，如果将情景改变，叙述方式改变，条件、问题等进行适当的变化，学生就无从着手。学生解读情景、表述情景、提问以及应用能力很弱。2、新教材呈现方式及其带来的挑战。本次数学新课程的改革除教学理念、教学目标、教学内容有较大的变化外，对教学第一线的教师而言，感受最深的是新教材呈现方式的变化，因为教学理念、教学目标在课堂教学过程中以隐性的状态隐含在教材的内容之中，而教材具体内容的呈现方式则是显性的，不论是教师，还是学生，当他们拿到新教材后立即可以感知到教材呈现本课题系2005年市规划课题 编号：TG05I26 课题负责人：朱旭平 执笔：徐旭琴 组员：朱旭美、应中其、林梦俏*全日制义务教育数学课程标准（实验稿），北师大出版社，2001、7。方式的变化。数学课程标准*提出：“在教材的编写中，应力求从学生熟悉的生活情境与童话世界出发，选择学生身边的、感兴趣的事物，提出有关的数学问题，以激发学生的学习兴趣与动机，使学生初步感受数学与日常生活的密切联系。”数学课程标准的前言提出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻划、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”根据标准的要求，全国各个版本的数学新教材在编写的呈现方式上均采用“问题情境、建立模型、解释与应用”的编排结构，广大教师也初步依照这一特点开展教学活动。3、新旧教学思想、观念、方式方法的差异所带来的碰撞。在新课改背景下，小学数学新旧教学思想、观念、方式方法在激烈地碰撞着，其中对数学与生活的关系是普通存在而一直没有得到解决的问题，讨论的焦点有两方面：一是如何从生活现象中抽取出数学问题，二是在课堂教学中如何具体操作。为解决这个问题，进一步传承旧教材实施过程中积淀下来的一些好的教学观念及教学行为，应用新课改的一些先进的教学理念和方式方法，并将新旧教学观念、教学思想和教学行为进行有机地融合，因此开展了本课题研究，本课题旨在阐述数学课堂教学应体现从“问题情景数学建模生活应用”的全过程，阐述一个基本观点：数学是一种模型的科学，建模是构建数学与生活应用之间的桥梁；一则学校数学具有现实的性质，数学来源于现实生活，再运用到现实生活中去，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。二则学生应该用现实的方法学习数学，即学生通过熟悉的现实生活，自己逐步抽象出数学模型，从中学生能体会到从实际情景中发展数学是获得再创造数学的绝好机会，在建立模型形成新的数学知识的过程中，学生能更好体会到数学与大自然和社会的天然联系。因而，在小学数学教学中，让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学应该成为一种共识，只有这样，数学教学中的“问题解决”才有了相应的环境与氛围。这种思想正好与世界著名数学家教育家弗赖登塔尔提出的“现实数学教育”观点不谋而合，这就意味着数学课程的应用性和实践性成为国际数学课程改革的一个基本趋势。4、研究任务（1）探讨基于“建模思想”的小学数学教学方式，采用行动研究的方法，以具体的课例研究为载体，从各种课例研究实践中提炼出共性的做法，从中构建出教学模式，以供同行借鉴。（2）在探讨教学方式的过程中，提高学生建模能力和应用数学的能力，培养学生创新思维和方法。（3）以数学建模为手段，给学生提供了一个自我学习、独立思考、认真探索的实践过程,培养学生的解读表述信息能力、提问能力、变换能力、交流合作能力、创造能力等等。（4）在探讨教学方式的过程中，以研究小组的活动为载体，提高课题组教师、数学研究小组成员乃至全校教师的专业素质，从而进一步加强数学校本教研的研究深度，进而提高教学质量，形成良好的研究氛围。二、基于“建模思想” 探讨教学模式（一）基于建模思想 提出研究思路1、国际教学发展趋势。当今的数学教育中，问题解决与数学建模已成为一个热点。在近几届的国际数学教育大会中，“问题解决、模型化和应用”被列入了几个主要的研究问题之一。其课题报告中明确指出：“问题解决、模型化和应用必须成为从中学到大学所有的数学课程的一部分。” 18世纪的数学大师欧拉曾解决的“哥尼斯堡七桥问题”，就是一个数学建模的极好的范例。1736年，欧拉在文章哥尼斯堡的七桥问题中，用他找到的一笔画的数学模型，以否定的方式漂亮地解决了这个问题。2、建模教学有别于传统教学。基于建模思想的小学数学教学模式的特点是：“以学生为中心，在整个过程中教师起组织者、指导者、帮助者、促进者的作用，教师创设问题情境，学生探索、协作、交流等充分发挥自己的主动性、积极性和首创精神，最终达到有效地实现对当前所学知识的建模。”课题组通过认真分析一致认为传统教学在长期的教学实践中有其自身的优势，但数学建模也有它与众不同的特点，对比分析如下：教学中地位教师的作用学习形式教 材传统教学教师为中心传授知识为主理解并记忆学生识记的内容数学建模教学学生为中心帮助、合作、促进主动的建模数学建模的起点从上表分析可以看出，传统教学是一种接受型的教学，它的课堂密度大，有利于传授，有利于学生在较短的时间内掌握较多的知识，但是这种教学不利于学生主动性的发挥，不利于学生建构、应用等各种能力的培养，数学建模的学习正好弥补了这方面的不足，它从传统注重知识点的多少转向注重知识点的存在方式联系的方式，有机地把数学与生活整合在一起。3、数学建模发展态势论述。（1）现有关于数学建模的理论阐述。数学模型（Mathematical Model）简称MM，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、法则、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。而通过对问题数学化、模型构建、求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法。“数学建模（Mathematical Modelhing）是由对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型，求解数学模型，解释验证等步骤组成（必要时循环执行）的过程。（2）数学建模理论在教学中的应用尝试。我们课题组已经初步构建出具有实践气息的小学数学建模思想体系，认为建模，重模更重建，建模的过程就是对实际问题数学化的过程。和一般所认为的模型有不同之处，数模容易被简单的理解为数量关系式、性质、法则等概念、方法的一些准模型，而相应的建模学习也被误解认为建构到数量关系式、性质、法则等概念、方法的一些准模型是学习的重点。其实不然，具体阐析如下：一次建模：从生活情境中抽象出数学问题。这是是生活数学向学校数学的抽象，这个抽象的过程就是建模的过程，这个抽象出来的数学问题就是数模（如：应用题等）。因为它经历了对情景问题中蕴含的数学成分进行分析和描述的过程，从一些属于学生的、不那么正规的数学语言通过简化和形式化不断地向比较严格和正规的语言靠拢的过程，这个过程就是第一次建模过程。二次建模：探究抽象出来的数学问题。从数学问题中抽象出纯数学的理解表述（即意义理解）或数学术语（即数量关系、性质、法则等方法或概念），这种意义理解表述或数学术语也是数模，它经历了对数学问题的探究过程，这种探究就是对旧课程的传承，这个过程就是第二次建模过程。模型的建构程度。究竟要怎样建构到意义理解的表述或数学的概念、方法等数学术语呢？这就要根据具体内容灵活机动地进行处理，因为概念方法等数学术语的构建并不是一步到位的，因为从知识的发展角度来看，情景问题不是孤立地而是以滚动式的集束出现，这样学生未曾接触过的新概念、新思想、新方法会不断涌现，一些类似的事情反复出现，某些思路和方法会多次重复，循着这样的途径，一些学生先前并不知晓的概念和方法不断成型。这个过程不是一蹴而就的，需要花费一些工夫，但最终一个严格的数学系统会被重新发现和建构起来。两次建模过程的整合。在现今一些课中，情景和探究是割裂的，情景是情景，探究是探究。而数学建模要求情景创设必须结合教学的重难点进行创设，探究和旧课程的探究有一定的区别，它是一种基于情景下的探究，这样在一定程序上，可以一种生活理来突破数学理。数学模型的建立不是最终目的，而让学生形成一种技能，建立思维方法，反过来再去解决问题，让学生理解并形成数学的思维，这种数学化的思想才是根本的目的。建模学习的适用范围。我们认为建模学习并不是万能的，不是任何课都适用的，它主要适用于应用题和概念等课学习。从整个来看，建模的过程就是数学化的过程，它的研究重点是第一次建模，即从生活情境抽象为数学问题，在这个过程中，培养学生解读信息，培养学生分析、综合、抽象、简化等能力。这就是要不断的引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题的目的，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。（二）探索教学范式提出操作设想1、构建教学范式立体化我们课题组认识：如何以润物细无声的形式渗透数学建模思想，提高学生建模能力呢？课堂教学要以“问题情景-建立模型-解释、应用与拓展”为基本叙述方式，使学生在朴素的问题情景中，通过观察、操作、思考、交流，从中抽象出数学模型，掌握重要的现代数学观念和数学的思想方法，逐步形成良好的数学思维习惯，强化运用意识。基于“建模思想”的小学数学教学模式具体分为三个方面：基于问题情境的教学模式、基于学习共同体的教学模式、基于变换思想的教学模式。“基于问题情境的教学模式”强调教学应为学生创设怎样的环境，“基于学习共同体的教学模式”强调了教学时指导学生应放在学习共同体中学习，“基于变换思想的教学模式”强调了复习教学应以怎样的思想来组织教学。在实际教学三种模式的各个环节并不是一成不变，而是相互交叉，互为补充的，只不过教师组织引导学生时在形式的侧重点上不同。是有机结合，交错进行，滚动推进。具体分析如下：生活与数学的关系侧重点知识点与课型建模层次学习方式基于问题情境数学生活化生活情境中隐含数学问题，从生活情境中抽象出数学问题意义的建模单一、新课初建模型探究课基于学习共同体生活数学化以任务的形式直接出示生活问题，在解决生活问题中，建构数学模型模型的应用 拓深、活动课拓展模型研究性学习课基于变换思想数学与生活的综合先出示源题，再以原有的生活和数学的经验来变换题意，在变换中还源生活的本源，从中建构数学模型。思维方法的教学、模型的组合综合、复习课铸成模块讨论课2、三种教学范式的应用范围分析（1）新授课：基于“问题情境”的建模教学（数学生活化）。基于问题情境的教学模式的教学任务比较单一，是数模的初建阶段，而且这一任务是在教师创设一个真实情境，经过学生解读信息之后提出来的，全班分组讨论的是同一问题，正因为如此，我们认为提倡学生采用不同的方法，先独立进行学习探索，学习过程紧紧围绕“问题”而展开，最后全体同学共同解决问题，建构数学模型。具有以下优点：（1）根据现行数学教材，教师去选择一个真实的环境，并据此去抽象出数学问题虽然难度有点大，但围绕问题进行组织教学则比较易于管理，可为学生的实践提供了一个台阶，为学生的课外研究活动作形式上的过渡。（2）由于学生在活动之间具有的经验水平有很大的差异，通过教学使学生原有的知识水平趋于平衡。（3）还为学生之间，学生和教师之间的交流和共享提供了一个平台，因为不同的学生可以从同一个问题出发，提出不同的问题解决方案，受到了他人的重视，并激发了他人的兴趣。例如：小学数学教材中应用题、概念、法则、性质、公式、定律等内容，从中建立单个的数学模型。如：应用题中工作问题、工程问题、相遇问题、部总关系、份总关系、倍数关系等数量关系，加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等定律，几何中周长公式、面积公式、体积公式等。让学生把现实生活中具体实体内所包含的数学知识、规律抽象出来，建成数学模型，让学生一折、一摆、一拼、一画中构造数学模型，如让学生做圆周柱、圆锥等立体图形。（2）拓展课：基于“学习共同体”的建模教学（生活数学化）。这是一种类似研究性学习的模式，形成“基于数学，超越数学、始于课堂、走出课堂、表现出自有的特色”。教学内容为和教材内容紧密联系并进一步拓展深化，在学完单元知识后，应安排该单元知识的应用专题，重点是渗透数学建模思想，提高学生创新意识和化归等能力，从纵向对单个模型进行深化。具体内容有以下三方面：（1）生活问题。日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建立小学数学模型加以解决，主要有：行程问题的应用，工程问题的应用，比例知识的应用，百分数应用题、合理负担出租车资、家庭日用电量的计算，平面几何、立体几何的应用等。都可用建立初级数学模型加以解决。（2）社会热点问题。国家大事、社会热点、市场经济中涉及诸如成本、利润、储蓄、保险等，结合时代发展的特点，涉及现代生活的经济统计图表（识别、分析、绘制）等等问题，都是小学数学建模的好素材。（3）实践活动或游戏问题。前苏联教育家赞可夫说过：“儿童的情绪生活与儿童的独立探索性思绪是活生生地有机联系着的。”（3）复习课：基于“变换思想”的建模教学（数学和生活的综合应用）。这是思维方法的教学，重在模型之间的联系和沟通。它的教学内容为复习课，即在上面二个层次建立的单个模型的基础上，进一步把相关联的单个模型构建成一个数学模块，形成一个网络式的模块体系，在复习建模中，课题组认为：关注知识点的多少，而关注知识点存在方式，在同一体系下的知识点不是零碎地存在，而是以一种联系的方式存在着，在新授课学习中，只是人为地支解出许多知识点而予以逐一落实，而在复习中就要还原知识点本身的存在方式，在学生的头脑中形成知识框架。3、三种教学范式的存在问题思索（1）基于“问题情景”建模教学模式存在的问题之一：情境创设的问题 。表现为情境有无生活味，而无数学味；情境有活动，而没有体验；情境的表面化、形式化等三个方面。问题之二：任何学习内容都要创设情境吗？任何数学学习内容都要从生活中找个原型？任何课都要进行建模吗？如果说一节课用情景，是非常吸引学生的，如果再连续二节课、三节课都用情景，学生势必感到厌倦，这说明任何一种教学模式都不是全能的，都有一个适用度及和别的教学方法的一个搭配问题。事实上有些知识的原型不好找呀，有些知识不适合建模教学，如计算课、练习课等，再说直接从旧知识迁移、引申学习新知识效率比较高，更好地体现数学学科特点，有两句口头禅“计算就是计算，训练就是训练，干吗要搞这么多花样。”（2）基于“学习共同体”建模教学模式存在的问题之一：学习共同体如何建立问题，如果单靠拓展课中建立与运用，则是一种非常零散的状态，无法形成一个默契的、合作的共同体，我们课题组认为，在班级中要建立一个个牢固的学习共同体，一定要和班级管理、平时学习和生活整合在一起，使共同体无处不在，合作无时不有。问题之二：邀请专家指导学习共同体有一定的难度和不便之处，在学习共同体探索之中在一定程度上处于一种奉命操作的状态，看似轰轰烈烈，但是不一定能真正理解，真正取得实效，我们课题组认为：将数学史料和高年级学生操作体验案例做成一个阅读材料，将阅读材料和学生的操作有机地进行结合，使操作得到原有经验的引领，从中丰厚学生的操作。（3）基于“变换思想”的建模教学模式存在问题之一：在课题推行的过程中，和教师平时的做法（将各个知识点逐一予以落实）有一定的冲突，而本课题所强调的是让各个知识点在联系中构建成知识网络，梳理知识点的脉络，理清它们之间的联系与区别，用一种整体的、联系的视角来落实知识点，形成知识模块。三、基于“建模思想”的课堂教学实施新授课：基于“问题情境”的建模教学范式（一）教学理念与基本流程1、教学理念。郑毓信教授在国际视角下的小学数学教育中论述日常数学和学校数学的关系中提出在数学教学中应注意以下一些环节：第一，在数学教学中我们应当关注利用学生所已有的数学经验和知识，特别是，我们应善于将“日常数学”用作学校数学学习的出发点和必要背景。第二，教师应当努力帮助学生实现由“日常数学”到“学校数学”的过渡。具体说，这种过渡在一定程序上既可被看成是一种抽象活动，也是将着眼点由原先的现实情境转移到内在的（深层次）数量关系。第三，教师又应十分重视如何帮助学生把学校中所学到的数学应用于社会实际生活。叶澜教授指出：“将结构化后的以符号为主要载体的书本知识重新激活，就要实现三方面的沟通与书本知识和人类生活沟通，与学生经验世界沟通，与发现、发展知识的人和历史沟通。”因此，作为教师就要把数学内容与学生的生活进行整合，找到生活与知识的契合点，并以它为切入点来进行教学，引导学生在生活问题中发现数学问题，然后建构数学模型，进而解决数学模型问题，再应用解决数学模型的经验来解决生活问题，才是将数学学习回归生活的真正目的。两位教授清晰地阐述了数学课堂教学应体现从问题情景建模应用于生活的全过程。问题情景在教学中将发挥以下几方面的作用：一是让学生在一定的背景下学习数学，通过对背景下各种信息的分析，从中来发现数学问题，这对提高学生发现数学问题、解决问题的能力有较大的帮助；二是问题情境的出现可以激发学生头脑中原有的生活经验，也容易使他们用积累的经验来感受其中的数学问题，提高学生学习的兴趣，使学生能建立起符合自己经验的认知结构；三是促进个性化的学习，由于问题情境提供的信息是多样的，每个学生可以根据自己的认知能力，选择其中的信息进行分析，可以获得不同的收获。2、基本流程。基于“问题情境”的教学活动流程可概括为：数学建模强烈推荐为学生提供一个完整、真实的问题背景，以此为支撑物启动教学，使学生产生学习的需要；同时支撑物的表征、视觉本质又促进了学习共同体中成员间的互动、交流，即合作学习，驱动学习者进行自主学习，在探究建模中，需要你自己去提出模型的假设，求解的方式多种多样，目标可以有不同的层次，结论也常常需要在多次反复中得到或修正。好的建模过程常常带有艺术品的特点，可以被别人品味和欣赏。在小学里，由于学生数学知识和能力发展的限制，我们应该从实际出发，不要刻意追求建模过程的复杂和完美，从应用起步，形成以下几方面一般步骤：第一，解读信息。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。第二，简化信息。根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。第三，抽象成数学问题（即模型一）。将已知条件与所求问题联系起来，将文字语言翻译成数学语言，将生活问题抽象成数学问题。第四，抽象成数学表示方法（即模型二）。将数学问题中的数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型，同时求出数学问题的解。第五，解释应用模型。释模的过程就是模型与现实生活和学生经验融合的过程，根据学生自己的生活经验和知识经验，让学生用自己的语言进行解释，转化为学生更为精致的个体经验，同时运用模型解决生活问题。（二）教学策略与典型案例1、创设问题情景。如何在原有教材中创设问题情境，如何将书本中抽象化的数学问题具体化，还原其知识的背景，恢复其原来的生动性、丰富性。具体分析如下：（1）情景创设的背景。情景创设应蕴含着知识和生活两种背景，学习知识与真实生活情景必须相融合，不能处于分离或勉强合成的状态，学习情景中要能够以自然的方式隐含着学习中所要解决的数学问题。一是知识背景。问题情境不是摆设，也不是为了赶时髦的点缀品，不能求一时热闹、好玩，而失去应有的数学味。一个好的问题情景，它为一定的教学目标服务的，在后面的教学中发挥一定的导向作用，教师对为什么要设置情境，设置了情境后应该达到什么教学目标应做到心中有数。所以，问题情境要和学习内容紧密结合，尤其和重难点知识紧密结合，教师要对教材内容、教学目标进行分析的基础上选出当前所学知识中的基本概念、基本原理、基本方法和基本过程作为当前所学知识的“主题”(或“基本内容”)，然后再围绕这个主题进行情景创设。学习情景只是促进学习者主动建构知识意义的外部条件，是一种“外因”，外因要通过内因才能起作用，设计理想的问题情景是为促进学习者自主学习最终完成数学建模而服务的。二是生活背景。数学来源于生活，又服务于生活，学生获取信息的渠道多种多样。因此，情境的创设要和社会生活实际和时代热点问题及自然、社会文化等与数学问题有关的各种因素相结合，要与学生的生活实际和经验相结合。要将现实生活中发生的与数学学习有关的素材及时引入课堂，要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式在课堂上展示给学生，描述数学问题产生的背景，呈现出数学问题的生活本源，这样很容易在学生的头脑中激活已有的生活经验，也容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题。（2）情景的操作空间。情景的操作空间应具备开放性和模糊性。情景的开放性就是要留出让学生自己补充、收集信息的余地，使学生能够自己收集有关的信息并进行选择。模糊性就是只叙述或呈现信息、图形或实物，把条件和结论的选择、设定的权利逐步教给学生，可用信息和最终结论更有待学生自己去挖掘，使学生在解读问题情景的过程中逐步抽象出数学问题，这解读和抽象的过程，恰好表现了传统应用向数学建模的一种过渡。（3）情景表述的载体。一是静态载体。用文字信息、阅读材料、统计图表、实物、图片等来表述，可让学生课前收集有关信息资料，这为学习者提供一个真实、富有挑战的背景，学习者在学习过程中自然会遇到各种锻练机会。在现实生活中，在对某一问题考虑出一个可能的解决方法之前，一般不会有现成的可供使用的事项、数据、陈述、关系等条件，这些首先必须被收集、挑选、整理、比较才能得到。而在传统的数学课里，这些必不可少的数据、信息大多是以文字形式或图来给出的。二是动态载体。用生活场景、实验操作、游戏、故事等来表述，把数学知识寓于活动之中，强调让学生亲身经历，使学生身处情境之中，通过脑、眼、手、口等多种感官参与，学生自主去探索发现，去感受，从而加深对所学知识的认识。三是虚拟载体。运用多媒体创设虚拟现实，加强感官刺激。多媒体具有直观性、形象性、具体性和生活性等特点，老师要善于运用多媒体创设课堂情境，使抽象的数学概念具体化。案例1：平均数仙居县实验小学建造新校园，甲乙两个学生小队参加义务劳动，并进行1分钟搬砖比赛：1、看到这些数据，你获得了哪些信息？2、哪队搬砖快？你评判的标准是什么？（甲队一共15块，乙队一共12块，甲队搬砖的总数多，就说明甲队胜利，我们对甲队表示祝贺。）3、这时小风加入乙队，1分钟搬砖4块，现在乙队一共搬砖16块，裁判判定乙队为获胜队，并向乙队表示祝贺。4、（有些学生举手表示反对）你们有什么想法？假如你是甲队的队员，你有意见吗？为什么？5、“哎呀，看来人数不相等，用比总数的办法决定胜负不公平。”6、在人数不相等的情况下，难道就没有更好的办法来比较搬砖的快慢？创设情景、感知平均数意义模型7、用平均数能比较出。什么是平均数呢？（生结合自己的知识经验和生活经验说理解。）8、你认为这两种评判标准在适用范围上有什么不同？【思考】本课所设计的“问题情景”是生活中比赛场景和平均数意义的自然融合，这个比赛场景隐含着平均数意义的本质，具备情景的开放性和模糊性两个特点，学生在自由地解读中整理两组数据，而情景的呈现和解读并不是一步到位的，情景分两次呈现，从而激起学生思维冲突，思考更好的评判标准，从而有序地推进数学问题的深入。这样，从一个生活比赛场景中抽取出平均数意义的过程，反映出从一个生活问题（哪队搬得快）到数学问题（什么是平均数）的抽取过程，是本课题所认为的一次建模的过程，也是学生对平均数意义初步感知的过程。案例2：面积和面积单位1、问题情境。老师家要搞装修，买来了两种装修的材料，一种是木条，一种是大大的三合板（电脑呈现：木条和木板的图），你知道它们分别用在哪里吗？2、抽取概念。根据学生的回答抽象出概念的表象，木条用于组成框架，它的长短就是物体的周长；木板用于面上，它的大小就是物体的面积。板书（右图）：【思考】数学概念的建立需要表象作支撑，本片断面积概念的建立以门面和框架的对比作支撑，经历了从问题情境抽取概念的过程，在和周长的对比中对面积概念理解更加深刻。2、探究建模（1）一次建模解读问题情景，抽象成数学问题。教师引领学生解读、分析生活情景，激活学生已有的生活经验，并利用学生已有生活经验来感受、发现、提出其中所蕴含的数学问题，从而建构新的认知结构。在这个过程中，学生提出的数学问题并不是一步到位的，这需要教师进行有机地进行引导，没有相应地进行指导与引导，那么情境活动则会变为支离破碎的学生经验，反而在学生的学习中起到消极的作用。因为并非学生所有的经验都有同等的教育价值，有些经验不在弄清它们之间相互联系的基础上组织起来，它们在教学方面就要起消极作用。在引导时主要采取两种方法：一是针对情景“以问引问”，使情景和数学问题有机的整合起来，提高学生的提问能力；二是呈现多个情景有序地推进数学问题的深入。案例3：相遇求路程应用题师：哪两位同学能用走路表演出“相对、同时、相遇”这几个词。两位学生表演（两位分别叫丁丁、东东）东东：我们俩面对面的站着叫相对，走了几步，碰见就叫相遇。师：你们对他们的表演有意见吗？生：他们都做到相对、相遇，但没有同时出发。生：最好他们俩同时喊“一、二、三”开始，这样就能做到同时了。师：丁丁和东东同时从家里相对而行，生表演。两名学生喊“一、二、三”开始，师：1分钟、2分钟、3分钟、4分钟相遇师问两生：你走了几分钟？（4分钟）你走了几分钟？（4分钟）师问全班：他们俩同时走了几分钟？生参差不齐，有2分钟，有4分钟，也有8分钟，争执不休。师：一节课几分钟？生：40分钟。师：你上了几分钟，他上了几分钟，全班同学一起上了几人分钟呢？生：40分钟。师问：那刚才他们走路一起走了几分钟？生：4分钟。师用线段图把刚才表演的内容表示出来，再出示信息，丁丁每分钟走70米，东东每分钟走80米。问：你发现了什么信息？生交流（逐渐表述出完整的信息），丁丁和东东同时从家里相对而行，丁丁每分钟走70米，东东每分钟走80米，经过四分钟相遇。师：你能提出哪些问题？生交流，丁丁走了几米？东东走了几米？等等，这些问题随机解决。师：他们一共走了几米？就是求什么？生：他们两家相距几米。师：这节课我们重点解决这个问题，谁能把上面这些信息和这个问题整合成一道完整地应用题？学生表述（逐渐完整），出示：丁丁和冬冬同时从自己家里相对而行，丁丁每分钟走70米，冬冬每分走80米，经过4分钟相遇。他们两家相距多少米？评析教师创设了表演“相对、同时、相遇”这三个词的生活场景，从中产生出许多零散的数学信息，在和学生经验融合后，呈现出有些是正确的，有些是错误的，如：4分钟相遇什么意思？教师用了一个生活情景进行引导：“上完这一节课，你上了几分钟，他上了几分钟，你们俩同时上了几分钟，大家同时上了几分钟。”这样以生活情景自然而然地突破了上面的难点知识。再通过师生共同把表演中的信息抽象成线段图，把零散的生活语言整合成完整地数学语言，让学生根据信息提问，这样就构建出一道完整的相遇问题应用题。整个过程呈现出从生活情景到抽象成数学模型（应用题）的全过程。（2）二次建模探索数学问题，抽象出数学结构。对小学生来说，在教师的引导下通过具体生活中的情境活动，发现一些数学问题是学习数学的重要阶段，但这并不是数学学习的全部。只有让学生对发现的问题进行概括、整理，从中寻找其普通的规律，并能抽象出数学结构（即数学模型），如：应用题的数量关系、公式、性质、法则等，这样学生才能进入到一个较理性思考问题阶段。在组织学生对数学问题进行探索时，有时让学生独立探索，有时让学生协作学习，有时是独立探索和协作学习相结合，要根据数学问题的难易程度，灵活选择探索方法，达到数学建模的目的。一是独立探索。学生在教师的帮助和支持下，在同学的相互协作和支持下，进行了各自的实践探索时，环境往往会随着探究过程而变化，这时教师应当适时激发学生的好奇心和求知欲，适时启发引导，介绍观察、实验、猜测、矫正与调控等合情推理模式，鼓励学生提出更多的问题，及时捕捉学生的生成资源，抓住衍生出的许多问题，学生用自己认知结构中已有的经验知识去验证自己的猜想，理解新知识，获得对学习内容的本质、规律性的认识。同时渗透建模意识，介绍建模方法。在这个过程中，教师成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者，学习环境成为一个支持和促进学生学习的场所。二是协作学习。进行小组协商、讨论，讨论的结果也有可能对数模的有关属性进行增加或减少，讨论的过程可能使数模各种属性的呈现次序有所调整，并能使原来多种意见相互矛盾且态度纷呈的复杂局面逐渐变得明朗、一致起来，在共享集体思维成果的基础上达到对当前所学概念比较全面、正确的理解，即最终完成对学知识的意义建模。在此过程中，教师要灵活运用启发式、尝试等多种教学方法进行指导。通过这样一个广泛的讨论，各协作小组（可选派代表）在课堂上公开自己的理解，展示协作组所建立的模型，师生进行评议，使原来多种意见相互矛盾变得明朗、一致起来。同时，强调模型的不唯一性和方法步骤的不统一性，教师要尝试着用欣赏的态度对待学生回答，对学生的学习动机、解答过程、思维方式、答案的呈现方式等等分别给予肯定。假如一些简单的计算中，答案是唯一的，而那位学生的答案错了，教师就可以表扬这个学生的学习动机、思维方法、解答过程中的可取之处，对于那些主观性较强的问题，教师更是鼓励和倡导学生对答案和方法采用不同的呈现方式。同时，教师要进行积极引导，每一个问题都能促使协作小组成员对自己研究的成果进行进一步反思，鼓励努力为自己的见解辨护或重新调整研究成果，从而完成数学建模的过程（可以允许不同的模型），形成数学知识、思想和方法，并获得新的数学活动经验。案例4：平均数1、怎么求出两队的平均数？四人小组讨论，推选一位介绍学习成果。2、反馈：哪个小组来汇报一下？估算：我们组估计一下，如果要使他们同样多，甲队大概在5块左右，乙队大概在4块左右平均数的范围：最小数平均数最大数移多补少方法：对估算方法的验证延伸出来。电脑呈现：我们一起来估算一下，（把一根水平线移到7的位置），平均数会是7吗？为什么？计算。甲队：（7+6+5）3=5（块）乙队（2+7+3+4）4=4（块）1）你是怎么想的？5代表什么？4代表什么？2）和小李的5一样吗？和小风的4块一样吗？（这种数字相同纯属巧合） 3）平均数跟以前学过的每份数一样吗？（实质不同：呈现每份数的条形图和平均数的条形作对比。）4）总数量总份数=平均数【思考】平均数的意义是代表一组数据整体的一般情况，它并不代表具体的数。这种意义只能是让学生在协作探索中意会而不能言传，通过协作学习和教师有力度问题的追问，有机地呈现出估算、移多补少、计算等三种相互联系的方法，在对比中达到清晰概念、深刻理解概念的目的。案例5：面积和面积单位1、 猜想面积单位。问题：我们用怎样的标准来规定（教具为1平方分米）呢？学生可能呈现两种链接：已有知识联想，已经学习过长度单位：厘米、分米、米，猜想以边长为1厘米、1分米、1米的正方形为标准，或根据已有知识估计教具边长为1分米的正方形；已有生活经验链接，学生在生活中接触的面积单位最多是平方米，再根据教具正方形联想到平方分米和平方厘米。2、 同桌合作、图象构建。各画出边长是1厘米和边长是1分米的正方形，并剪出来，用绳摆或米尺表示出边长是1米的正方形。师指出这些正方形的面积大小就分别是1平方厘米、1平方分米、1平方米，我们把它们称为面积单位。【思考】对三个面积单位教学，我们经常看到分三次进行，这样总觉得比较乏味。本片断大胆地采用一次呈现，主要基于以下两方面的原因：一是根据学生已有知识（已学习1厘米、1分米、1米等长度单位）和学生的生活经验，二是平方厘米、平方分米、平方米三个面积单位是并列的知识，而不是递进的，所以觉得可以在同一平台中进行一次性的探究。3、解释、评价模型。解释、评价模型的过程就是物理模型向化学模型转变的过程，我们课题组把学生在上面环节中探究所得的还没有和学生已有的知识经验融合的模型称为物理模型，学生把抽象的数学模型用自己的语言表达出来，和学生已有的知识、经验融合（即如化学反应）后就转化为化学模型，这样，新的模型通过解释、评价就自然地纳入已有知识体系中，并化作学生自己的解题经验，这是学生认识上的飞跃。案例6：平均数1、小结：当人数不相等时，比总数不公平，是谁出现在我们的课堂里？此时此刻，你不想对平均数发自内心的说两句吗？2、沟通平均数与生活的联系：你在生活中见过哪些平均数？出示：仙居实验小学旧校园人均占地面积是4平方米，新校园人均占地面积是15平方米。【思考】将平均数概念和学生身边符与具体含义的平均数相链接，学生试图用平构数概念去解释其具体的含义时，这就是数学概念与生活表征两者在学生心中融合的过程，是学生深刻地理解过程，是物理模型到化学模型的转变过程。4、应用、拓展模型。用所建立的数学模型来解答实际应用题，让学生能体会到数学模型的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，成功的喜悦油然而生。具体表现在两个方面：一是数学题作业，如基本题、变式题等；二是生活题作业，在实际生活中应用数学。这样真正让数学走近学生，让数学走入生活。同时根据教学目标，指导学生归纳总结、拓展知识的一般结论，指出这些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的统一性，使学生在实际应用过程中认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。案例7：平均数招工广告全厂职工每月平均工资为500元小王前去应聘，1个月后却只得到200元小王和老板打官司，谁会赢？【思考】数模在生活中能得到灵活的应用，才是达到深刻理解和把握数学模型的目的，而此题招工广告是为培养学生灵活应用数模、解决实际问题的一个好素材。案例8：面积和面积单位实践表l 物体名称：l 所用的面积单位：l 估计结果：l 测量结果：l 困难和经验：1、生活链接。1平方厘米、1平方分米、1平方米这三个面积单位分别和生活中哪些物体的面积差不多。2、开放测量。同桌共同确定橡皮正面、A4纸、黑板等一种物体，先估计它的面积，再选择适当的面积单位去测量，并填写实践表。3、汇报测量情况并小结，呈现测量时有多种方法，交流如何根据物体的面积大小选用合适的单位。【思考】用生活的表象及时解释、链接、融合1平方厘米、1平方分米、1平方米三个面积单位模型，同时通过开放测量，创造协作探索的时空，及时应用三种单位模型去解决生活实际问题，从中对测量方法、选择合适单位进行经验总结，使之转化为学生心中牢固地、精致地生活经验。拓展课：基于“学习共同体”的建模教学模式基于“学习共同体”的教学模式是基于“问题情境”的建模教学”中拓展应用环节的延伸，学习是在学生间相互依赖、相互合作的过程中进行，它借助共同体的力量把数学模型深层次应用于现实生活，它可以以小组成员、班级同学、家中亲友、社会各团体的成员等一切可以寻求的单位和个人作为学习或请教的对象，这种合作学习使学生学到了知识，也锻炼了学生社会交往的能力。（一）教学理念与基本流程数学来源于生活，又服务于生活，“将数学学习回归生活”，是新课程理念下转变小学数学教育教学观念的一个重大课题。而“学习共同体”是将数学回归到生活，运用数学解决实际问题的一个有效载体。“学习共同体”（learning eommunity）或译为“学习社区”，一个学习共同体是指一个由学习者及其助学者（包括教师、专家、辅导者等）共同构成的团体，他们彼此之间经常在学习过程中进行沟通、交流，分享各种学习资源，共同完成一定的学习任务，因而在成员之间形成了相互影响、相互促进的人际联系。学习共同体具有两种基本功能：（1）社会强化：建立学习共同体是满足学习者的自尊和归属需要的重要途径。在学习共同体中，学习者感到自己和其他学习者同属于一个团体，在进行共同的学习活动，遵守共同的规则，具有一致的价值取向和偏好。学习者对共同体的归属感、认同感以及从其他成员身上所得到的尊重感有利于增强学习者对共同体的参与程度，维持他们持续、努力的学习活动。（2）信息交流：学习者与辅导者进行交流，同时又与同伴进行交流和合作，共同建构知识、分享知识。在沟通交流中，学习者可以看到不同的信息，看到理解问题的不同角度，而这又会促使他们进一步反思自己的想法，重新组织自己的理解和思路。基于“学习共同体”的建模教学模式基本流程如右图，它的学习活动由六部分组成：学习基于真实的任务而展开；学习共同体各成员之间合理分工、明确责任；学生在小组活动中相互依赖的基础上进行探索；学生学生、教师学生争论和协商各自的理解；教师与学生公开地与所有共同体成员分享见解；学生请专家点评，向专家质疑问难，根据衍生的问题进行新一轮探索。（二）教学策略与典型案例1、展示任务。真实性教学应该是使学生寻求和自己有关的（包括生活的各个方面），感兴趣的，具有类似于专家们探索的活动。（1）学习活动任务的选定。开展合作学习的任务选择非常重要。必须选择那些具有一定的挑战性、开放性、探索性的问题才能开展合作学习，让学生从内而外、自愿地进行合作，感到合作是的的确确需要的。要让每位同学都明确此次合作学习的任务。在设计学习活动的任务时，不搞一刀切，做到根据学生的不同设计不同的活动任务。让每一个学生在任务的完成中都能充分展示个性和才华，“活”起来，“动”起来，让学生全身心地投入到自己感兴趣的活动中去，能醉心于此，乐此不疲，从中体验成功，感受幸福，创造快乐。学习任务可以是一个和教材内容紧密联系的生活实践问题。能够在学习的时间和空间维度上展开，均要求采用主动地、真实的情景下的学习，构建学习任务应考虑以下三方面：一是在对教材内容目标分析的基础之上提出一系列生活实践问题，成为教材内容的拓展和延伸。这些问题可分为主问题和子问题，子问题的解决是主问题解决的充分条件，同理下层子问题的解决是上层子问题解决的充分条件，这样就形成一树状谱系图。二是学习任务要涵盖相匹配的教材内容中的数学模型，只能更加复杂，不能更简单。同时要符合学习者的特征，不能超越学习者知识能力太多。使对教材内容的学习成为学生探索生活实践问题的“脚手架”，把学生的智力从一个水平引导到另一个新的更高的水平。三是要设计开放性的问题，有多解，有多种评判答案的标准，解决问题的目的不是期望学生一定就能给出完美的答案，而是鼓励学生参与，使其了解这个领域。（2）任务的推进“脚手架的搭建”。教师要激发并组织学生产生一系列问题。要使学生产生问题，教师首先要选择好一个驱动性问题，作为教学的开始，这是非常重要的。设计驱动性问题就像给学生“搭建脚手架”，我们根据苏联著名心理学家维果茨基的“最近发展区”理论，要求对学生搭建“脚手架”，就是围绕当前学生主题，按“最近发展区”的要求建立概念框架，老师要在“最近发展区”内搭建“脚手架”一样把学生的智力从一个水平引导到另一个新的更高的水平，从而促进模型的构建。课题组认为“搭建脚手架”是给学生一种支持，让学生凭借这种支持完成原本无法独立完成的作业，对实践进行总结，我们认为可以从以下几个方面搭建脚手架：一是确定范围：老师在给学生学习任务时，可以给学生一个范围。比如“通过长方形的面积计算方法来推导出平行四边形的面积计算方法”，这样学生就会去复习长方形的面积计算方法，然后再去分析平行四边形和长方形的联系，这就为学生提供了解决问题的途径。二是老师模拟：老师可通过演示如何解题，如何进行实验操作，为学生提供一个类似专家的具体工作实例，让学生在模仿的过程中去创新。三是介绍思维过程：这一技术应该是老师提出问题，当学生绞尽脑汁地思考问题而不得其解之后进行，这样有助于学生直接吸取老师的思维方法或通过提示开拓学生思维空间；四是提问：正如前面第点所述，“搭建脚手架”还可能运用在学生的学习过程中，当学生解决问题时，教师可以通过提问向学生提供援助，这种提问，可以帮助学生集中注意力并具有提供新思路的作用。五是改变任务的要求：如数学教学中求三步应用题，先出示中间问题，这是一种最形象的“搭建脚手架”的方法。六是提示或暗示：教师可以通过书面或口