第九章Laplace方程的圆的Dirichlet的傅氏解.doc

第九章Laplace方程的圆的Dirichlet的傅氏解（14）一、内容摘要1Laplace方程或调和方程： 如果一个函数在某个区域内连续，且满足Laplace方程，则称该函数是内的调和函数，或者说，函数在内调和。2Dirichlet问题： 其中为已知函数，并有，上述边值问题习惯上称为圆内的Dirichlet问题。由分离变量法可求得其解为：这个积分称为泊松积分。3函数（1）定义：满足下列条件的函数称为函数： ，且一般地，有，且（2）函数的性质： 对于任意的连续函数 ，均有：或者函数的导数记则有，函数的原函数阶跃函数（Heaviside函数）定义为： 函数可视为阶跃函数的导函数： 如果 的实根 全是单根，则函数是一种广义函数： 上述极限是就积分意义上而言。3函数的Fourier 变换；严格而言，函数不满足Fourier 积分定理的条件，其Fourier 积分和变换不存在。单从广义函数的角度出发，可以将这些函数的Fourier 变换的极限定义为函数的Fourier 积分和Fourier 变换。这时的Fourier 变换称为广义Fourier 变换。二、习题1填空题（1）=_（2）_（3）_2证明函数的性质。（1） （2）（3） （4）3求解下列定解问题： 是常数4求定解问题： 5求解Poisson方程的边值问题： 6求的Dirichlet问题： 7求解扇形区域中的Dirichlet问题： 8在圆域内，求定解问题： 三、参考答案1填空题(1) (2) (3) 2 解:(1) 因为函数的所有运算性质都是通过与连续函数的积分来体现的,对任意连续函数，有积分因此(2)对任意连续函数，有积分，因此(3)，作变换，令，则在第一段积分中：，在第二段积分中：，这里的根式皆取算术根，于是有：因此得证：(4)即：，类似的我们易于推得3解: 利用三角函数族的正交性, 由得, , , 。将这些式子代入式得 4解：令，则有：由边界条件可得:求解本征值问题: 易得仅当时,本征值问题有如下非平庸解: 此时关于Y 的方程的解为：由边界条件可得: 这样就得到原方程满足部分边界条件的特解：叠加这些解，得到： 代入非齐次边界条件： 函数的Fourier级数的展开系数:这样就可以得到原定解问题的解为： 其中：5解 : z则=，将、式带入方程和边界条件并对比方程两边的系数得：其中 由于式对应的齐次方程的通解为： 式的另一解，为： 其中，和满足下列方程组：解方程组、，得: 其中为常数，于是，由、和式可得式的通解，为： 将代入边界条件，得：解之得：于是得： 将和式一并代入式得原定解问题的解，为：6解 :令并将其代入到 中齐次方程得, (1) （2）(1)便是原定解问题的特征值问题，其解为 ， ， .将代入到（2）中得 ， （3）该方程有两个线性无关解，. 由于，也是（3）的解且线性无关，故（3）通解为.令 （4）则满足原定解问题中方程和关于的齐次边界条件. 利用关于的边界条件可如下确定，, . （5） , . (5)故原定解问题的解为 7. 解: 令，作自变量变换，原定解问题转化为 (1)令代入到(1)中的方程，并结合边界条件可得 (2) . (3)(2)便是(1)的特征值问题. 求解特征值问题(2)可得 ， ， .将代入到(3)中，并令作自变量变换可得,.由于是求(1)的有界解，故有，即. 从而有. 上面求出的对每个都满足(1)中的方程和齐次边界条件，由叠加原理得 , (4)也满足(1)中的方程和齐次边界条件.为使(1)中的非齐次边界条件得以满足，在(4)中令得 ， (5)比较上式两边特征函数的系数得 ， .将，代入到(4)中便得(1)的解为 8解：圆域上的函数相当于关于变量具有周期. 令并代入到中的方程可得 (1) . (2) (1)是定解问题原定解问题的特征值问题.(1)的解为