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一个经典斜抛模型的五种解法余加成浙江省余姚市高风中学 浙江 余姚 315400斜抛问题是高中物理竞赛中常见的一类问题，而其中常见的问题模型有两个，即“平地踢球”和“高墙掷物”“平地踢球”模型（见图1）为：不计空气阻力，运动员将球从A位置以一定速率踢出，球能经过B位置，已知B离A的水平距离为，竖直高度为，问球被踢出时的最小速率是多少？ “高墙掷物”模型（见图2）为：不计空气阻力，某同学将铅球从A位置以速率掷出，已知A距水平地面的高度为，问球被掷出后的落地点为B位置，问B离A的最大水平距离为多少？ 这两个模型是一对互逆模型，但处理方法不尽相同，本文着重介绍“平地踢球”模型1. 运动的合成与分解运动的合成与分解是解决本模型的基本方法，即把球的运动分解到水平方向和竖直方向，对这两个方向分别建立运动学方程进行求解，但根据其中用到的数学处理不同，笔者把本方法细分为三种方法，分别说明如下1.1运用基本不等式求解设球的初速度为，其方向与水平方向的夹角为，球从A运动到B的时间为则在水平方向：在竖直方向：又有：联合（1）、（2）、（3），消去、，整理得：依据基本不等式关系：注：当时（5）式取等号由（4）、（5）得的最小值为：1.2运用三角函数求解本解法设定的参数及（1）、（2）式与1.1中所述的相同，不同的是消去时间由（1）式得：将（7）式代入（2）式并整理得：依据三角函数关系：其中，当时，（9）式取最大值则由（8）式得结果，同（6）式1.3以运动速度分量作自变量求解设球的初速度为，其水平方向分量为，则其竖直方向分量为，球从A运动到B的时间为则在水平方向：在竖直方向：将（10）式代入（11）式，消去并整理得：同理，由基本不等式关系得：代入（12）式可得结果，同（6）式2.位移矢量三角形本方法是把物体的实际运动看成是沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，根据位移矢量关系列方程，然后根据根的判别式进行求解设球的初速度为，球从A运动到B的时间为位移矢量关系如图3所示则根据位移关系：整理得：对于（14）式，要使得有解，则必须同时满足：联合（15）、（16）式可得结果，同（6）式3速度矢量三角形本方法是以物体的初速度、末速度、速度的变化量三者构建矢量三角形，然后利用正弦定理配合求解如图4所示，以初速度、末速度、速度的变化量为边构建速度矢量三角形，三边分别记为、，初速度、末速度与水平方向的夹角分别记为、从A到B，依据动能定理得：整理得：而速度的变化量在矢量三角形中，由正弦定理得：联合（18）、（19）、（20）整理得：由函数关系可知，当时，有最小值将代入（21）式并整理得：其符合条件的解同（6）式本模型对应的类似问题有：斜面
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