图论应用之公交换乘问题.doc

图论应用之公交换乘问题学院： 指导教师： 摘要 从不同的角度来衡量最佳的公交换乘路线将得到不同的结果，本文将使用图论中广度优先搜索与Floyd最短路径算法来解决公交换乘问题。阐述了二者的原理，并通过实例分析证明其可行性。关键词：公交换乘 图论 广度优先 最短路径改革开放以来，我国的社会生产力水平飞速发展，城市化水平也不断提高。随着城市规模的不断扩大，城市的流动人口与机动车辆数目也不断增长。在城市交通中乘客通常要多次换乘公交车才能到达目的地。针对该问题，根据不同乘客的不同需要，通常有2种解决方案：一种是选择最小换乘次数的路径，另一种是选择使用最短时间到达的路径。本文以实际公交路线为例，作出分析说明。如图G0所示是由重庆主城区的几处地点的大致地理位置作出，起权值通过百度地图得出的公交时间，以分为单位。图G0根据同构图的定义可以知道，当两个简单图同构时，两个图的顶点之间具有保持相邻关系的一一对应1，两个图的差异只是顶点和边的名称不同，或两个图的形状不同，不影响图的结构性质。所以为了方便观察作图G1，并将地名换成顶点v1v7，使得G1G0。图G1其中对应地点为石桥铺：v1，大坪v2，华新街v3，观音桥v4，南坪v5，解放碑v6，黄桷垭v7。顶点集V=v1，v2，v3，v4，v5，v6，v71、最少换乘广度优先搜索广度优先也称为宽度优先搜索，它是一种先生成的节点先扩展的策略。这种搜索策略的搜索过程是从初始节点V0开始逐层向下扩展，在第n层节点还没有全部搜索完之前，不进入第n+1层节点搜索2，换句话说，广度优先搜索是以起始点，由近至远，依次访问和起始点有路径相通且路径长度为1,2,的顶点。在本例中一位乘客要从A地到B地，希望选择一条途中中转次数最少的线路。假设图中每一站都需要换车，则这个问题反映到图上就是要找一条从顶点A到顶点B所含边的数目最少的路径。我们只需要从顶点A出发对图作广度优先搜索，一旦遇到顶点B就终止。由此所得广度优先生成树上，从根顶点A到顶点B的路径就是中转次数最少的路径，路径A与B之间的顶点就是途径的中转站数。其搜索步骤为：假设从图中某顶点v出发，在访问了v之后依次访问v的各个未曾访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们邻接点，并使“先被访问的顶点的邻接点”先于“后被访问的顶点的邻接点”被访问，直至图中所有已被访问的邻接点都被访问到3。这里要注意的是每个结点的优先访问问题，根据本例的需要，应先访问权值最小的邻接点。 例如，对图G1进行广度优先搜索，假设从v6到v5，首先访问v6并按时间的长短依次访问v6的邻接点v2，v4，v7，然后访问v2的邻接点v1，v3；v4的邻接点v5，停止。这样就得到最小换乘路径v6-v4-v5，其时间为60分钟。所形成的搜索树如图1所示：图1分析上诉算法，最差情形下，广度优先搜索必须寻找所有到可能节点的所有路径，因此其时间复杂度为 O(|V| + |E|)，其中 |V| 是节点的数目，而 |E| 是图中边的数目。广度优先搜索算法具有完全性。这意指无论图形的种类如何，只要目标存在，一定会找到。然而，若目标不存在，且图为无限大。因为本例中实际站点不可能无限多个，所以广度优先搜索比较适合寻找最短的公交换乘问题。2、最短时间Floyd最短路径算法 有时，对于有些旅客来说，可能更关心的是节省时间。这时就需要应用到图论中的最短路径算法。其中包括指定的顶点对之间的最短路径算法和全部顶点间的最短路径算法。后者较前者在需要大量查询的时候更加适合。这里使用所有顶点间的最短路径算法，该算法最具代表性的是1962年Floyd提出的算法。这里将用该算法来求解本例的问题。 Floyd算法仍从图的带权邻接矩阵出发，起基本思想是：假设求从顶点vi到vj的最短路径。如果vi到vj有路，则从vi到vj存在一条长度为Lij的路径，改路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。首先考虑路径（vi，v0，vj）是否存在，即判定（vi，v0）和（v0，vj）是否存在。如果存在，则比较（vi，vj）和（vi，v0，vj）的路径长度，取长度较短者为从vi到vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。假如在路径上再增加一个顶点v1，也就是说，如果（vi，v1）和（v1，vj）分别是当前找到的中间顶点的序号不大于1的最短路径，那么（vi，v1，vj）就可能是从vi到vj的中间顶点的序号不大于1的最短路径。将它和已经得到的从vi到vj中间顶点序号不大于0的最短路径相比较，从中选出中间顶点的序号不大于1的最短路径之后，再增加一个顶点v2，继续进行试探。依次类推。在一般情况下，若（vi，vk）和（vk，vj）分别是从vi到vk和从vk到vj的中间顶点的序号不大于k-1的最短路径，则将（vi，vk，vj）和已经得到的从vi到vj且中间顶点序号不大于k-1的最短路径相比较，其长度较短者便是从vi到vj的中间顶点的序号不大于k的最短路径。这样，在经过n次比较之后，最后求得的笔试从vi到vj的最短路径4。其步骤如下：第一步：置，其中 第二步：已得和阵，求和阵中的元素如下：第三步：kV2-V1。一旦计算出结果就可以很快找到最短路的距离及其路径，容易看出Floyd-Warshal算法的时间复杂的是O(n3)。3、结束语本文将广度优先搜索和最短路理论应用到实际生活中，在制作公交系统查询系统的时候有很重要的意义。大大减少大众的出行时间，加快城市的发展。同时也凸显出学习和应用图论的重要性。另外，最短路问题在城市道路建设、物资供应站选址等问题上也有很重要的作用。分析和研究最短路问题趋于热门化。参考文献1 殷剑宏，吴开亚图论及其算法M合肥：中国科学技术大学出版社，2006.12：7-1062 王万森人工智能原理及其应用（第2版）M北京：电子工业出版社，2007.1：109-1153 严蔚敏，吴伟