参数方程2.doc

二、圆锥曲线的参数方程知识结构理清知识脉络圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程抛物线的参数方程自主学习享受探究乐趣一、新知导入忆旧（知识回顾）在（一）中我们学习了参数概念、参数的选择、参数的物理意义、几何意义等，学习了选定参数建立参数方程的基本步骤，也学习了参数方程的定义和参数方程的应用，特别讲述了圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化。根据上节学习，对参数方程研究曲线的几何性质，用参数法和曲线的参数方程研究普通方程不易解决而引入参数就简化解题过程的优势有进一步了解，自然想到若用参数法研究其它曲线，如在高中阶段所学的重要的圆锥曲线。二、教材详析迎新（问题引入）现在我们以学生熟悉的圆锥曲线为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用，同时也引导学生从不同角度认识圆锥曲线的几何性质既然在选定恰当的参数时，参数方程有简化解题过程，使复杂问题简单化的优势，所以研究和应用椭圆的参数方程、双曲线的参数方程、抛物线的参数方程研究问题，会在解题过程中有更深刻的体会。 知识点1、参数的几何意义 椭圆的参数方程中参数的几何意义：XMBOY 称为椭圆的离心角。椭圆的参数方程是通过建立参数方程的基本步骤，借助三角函数的知识，纯粹用代数和三角变换得到的，此时来看，参数的几何意义并不明确，此时我们借助上节圆的参数方程中参数的几何意义，探究椭圆参数方程中参数的几何意义。如图可知：参数不是椭圆上的任意一点M与椭圆中心O的连线与OX轴所成角，而是借助椭圆内同心的，以为半径的圆上任意一点B与圆心连线OB与OX轴所成角所以参数是X轴正半轴沿逆时针方向旋转到OB的位置时所转过的角度，而不是X轴正半轴沿逆时针方向旋转到OM的位置时所转过的角度，这点要特别注意。 做法：在椭圆内以椭圆中心为圆心，以为半径作圆，在椭圆上任取一点M，过点M作平行与X轴的直线交圆与B（点B与点M所在象限相同，或点B与点M同在坐标轴的一条半轴上），连接OB，则X轴正半轴沿逆时针方向旋转到OB的位置时所转过的角度即为参数（称为离心角）。特别提示：1、 参数是离心角，是X轴正半轴沿逆时针方向旋转到OB的位置时所转过的角度2、 椭圆的参数方程是根据圆的参数方程的形式推导出来的，要掌握推证过程 双曲线的参数方程中参数的几何意义：与椭圆相同，参数也称为离心角。它也不是X轴正半轴沿逆时针方向旋转到OM的位置时所转过的角（称为OM的旋转角）。做法：如图：图1参数为参数，当点M为双曲线右支上任一点时，过点M作平行与X轴的直线，该直线与以原点O为圆心，为半径的圆在点B处的切线相交于点B1 ，连接O B1 ，则X轴正半轴沿逆时针方向旋转到O B1 的位置时所转过的角度即为双曲线的参数方程中的参数（离心角）BB2M5-44B1YX2-55-44B1BYX2O-5MO（图2）（图1）图2，当点M为双曲线左支上任一点，过点M作平行于X轴的直线，该直线与以原点O为圆心，为半径的圆在点B处的切线相交于点B1 ，作出点B1 关于原点O的对称点B2 ，连接OB2 ，则X轴正半轴沿逆时针方向旋转到OB2 的位置时所转过的角度即为双曲线的参数方程中的参数。特别提示：1、 与椭圆相同，参数是离心角，是X轴正半轴沿逆时针方向旋转到OB的位置时所转过的角度2、 当点M分别在左、右支时，参数的意义相同，但表示的参数的几何意义要注意点B1的位置，点B2 的位置等抛物线的参数方程中参数的几何意义：（1）抛物线的参数方程中的参数是X轴正半轴到OM（M为抛物线上的点）所成的角，此时的参数方程为 （为参数）YXAOFM（2）抛物线的参数方程中的参数，表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数即，参数方程为（为参数） 利用信息技术，从参数连续变化而形成圆锥曲线的过程中认识参数的几何意义特别提示：1、抛物线的参数方程因参数选择的不同会有不同的形式，要注意所选参数的几何意义2、抛物线参数方程要注意和普通方程的等价性，要注意抛物线的完整性知识点2：圆锥曲线的参数方程椭圆的参数方程：，（为参数）事实上，从几何的角度看，通过伸缩变换 ，椭圆可以变成圆利用圆的参数方程（是参数），可以得到椭圆的参数方程（是参数）从证明过程可以看出参数的几何意义，但此证明过程学生不需要掌握，了解即可。AXBYM又根据课本可知：如图，以原点O为圆心，为半径分别作两个同心圆设A为大圆上的任一点，连接OA，与小圆交于点B，过点A、B分别作X轴，Y轴的垂线，两垂线交于点M设以OX为始边，OA为终边的角为，点M的坐标是那么点A的横坐标为，点B的纵坐标为由于点A，B均在角的终边上，O有三角函数的定义有，当半径OA绕点O旋转一周时，就得到了点M的轨迹，它的参数方程是（为参数），特别提示：1、椭圆的参数方程与圆的参数方程的不同点，是椭圆在轴和轴上的截距不同，而圆的相同，且参数的几何意义不同2、两种方法求出了椭圆的参数方程，第一种利用了同角三角函数关系式（同角的正弦、余弦的平方和为1），第二种，利用了三角函数线这是中心在原点，焦点在X轴上的椭圆的参数方程，通常参数的范围是双曲线的参数方程： （为参数）参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角（称为点M的离心角），而不是OM的旋转角类似于探究椭圆参数方程的方法，我们来探究双曲线（1）的参数方程事实上，我们可以采用三角函数的知识，令，由可知（此公式不要求掌握，只要了解即可，因为正割函数教材中没有介绍，所以教学中不要引入），所以双曲线的参数方程为（为参数）由此可以看出参数的几何意义MB1A1ABO根据课本内容，如图，以原点O为圆心，为半径分别作同心圆设A为圆上任一点，作直线OA，过点A作圆的切线与轴交于点，过圆与轴的交点B作圆的切线与直线交于点过点，分别作轴，轴的平行线，交于点M 设为始边，为终边的角为，点M的坐标是那么点的坐标为，点的坐标为因为点A在圆上，由圆的参数方程得点A的坐标为（），所以，因为，所以，从而，解得记，（是正割函数，它表示余弦函数的倒数，现在只是为推导参数方程才引入，所以不要求引入，仅供同学们学习了解使用）则因为点在角的终边上，由三角函数的定义有，即所以，点M的轨迹的参数方程为（为参数）（2）因为，即，所以，从（2）方程中消去参数后得到点M的轨迹的普通方程（1）这是中心在原点，焦点在轴上的双曲线所以（2）就是双曲线（1）的参数方程此时的参数的范围为，且特别提示：1、与椭圆类似，双曲线上任意一点的坐标可以设为），这是解决与双曲线有关的问题的重要方法2、推导双曲线的参数方程，用到了正割函数，但教科书中没有介绍过这一三角函数，因此教学中不补充，只把作为一个记号处理就可以了对于教科书中介绍的公式，教学中不要作过多要求，因为它只是为了说明双曲线的参数方程与普通方程的互化而使用的抛物线的参数方程： （1）（为参数），这是不包括顶点的抛物线的参数方程，是X轴正半轴到OM（M为抛物线上的点）所成的角或（2）（为参数），参数表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数事实上方程（1）的证明为：如图，设抛物线的普通方程为：，其中表示焦点到准线的距离 显然，当在内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取为参数来探求抛物线的参数方程YXAOFM 因为点M在的终边上，根据三角函数定义可得，由方程，联立，得到 （为参数），这是抛物线（不包括顶点）的参数方程如果令，则有（为参数）当时，由参数方程（为参数）表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0），因此，当时，参数方程（为参数）就表示整条抛物线参数表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数特别提示：参数是X轴正半轴到OM（M为抛物线上的点）所成的角，参数表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数由此可以知道，抛物线的参数方程因所选参数的不同，参数方程的形式不同如教科书中的“思考”：设点M是抛物线上的任一点，点M到准线的距离为，则有由于，所以，抛物线的参数方程为（为参数）或（为参数）因所选参数不同，所以参数方程的形式很显然与已求得的参数方程形式不同 知识点3：普通方程与参数方程的转化（1）参数方程化为普通方程时用消参法，一般是平方求和或求差；普通方程化为参数方程用三角函数知识或参数的几何意义来转化（2）注意转化时的等价性解题方法乘坐智慧快车一、基础经典全析题型1 椭圆的参数方程例1 O是坐标原点，P是椭圆（是参数）上离心角为所对应的点，那么直线OP的倾角的正切值是 分析：此题的关键点是离心角的概念，离心角不是x正半轴沿逆时针方向旋转到椭圆上任一点与中心的连线所成的角，但离心角的值适合椭圆的参数方程，所以代入可求解：把代入椭圆参数方程（是参数），可得P点坐标，所以直线OP的倾角的正切值是点拨：注意直线的倾斜角的范围是点的坐标适合方程，方程的解为坐标的点在曲线上例2 在椭圆上求一点M，使点M到直线的距离最小，并求出最小距离分析：在椭圆上直接设点，用点到直线的距离表示为，然后用代入法消去一个未知数去求，很显然不易研究，所以采用椭圆的参数方程，由此表示出椭圆曲线上各点的坐标为，然后用点到直线的距离得到，根据三角函数辅助角公式（）和三角函数的有界性得到点到直线距离的最小值解：因为椭圆的参数方程为（为参数），可设点M的坐标为，由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为其中满足 由三角函数性质知，当时，取最小值此时，所以，当点M位于时，点M与直线的距离取最小值点拨：（1）与简单的线性规划问题进行类比，在实数满足如的关系式的前提下，可以求出的最大值和最小值因为线性规划问题是在可行域中确定点的坐标，使目标函数取得最大值或最小值，这里的目标函数是，可行域是椭圆上点的集合事实上，实数满足，所以曲线上任意一点的坐标可以设为（），所以，其中，由此可知当时，的最大值为，此时，即当点M位时，的最大值为同理，当时，有最小值，此时，即当点M位时，有最小值最大最小BAO也可类似简单线性规划，如图作出椭圆曲线和直线，作与直线平行的直线系，此时的几何意义是直线在轴上的截距的最大、最小值由直线和椭圆相切的条件，方程组有唯一一组解，由此可得到的最大值和最小值（2）当知道椭圆的参数方程时要会化为普通方程，当知道椭圆的普通方程时，要会根据参数方程的推导方式写出曲线上任意一点的坐标，由此使解题简单化（3）要掌握三角函数的辅助角公式，它在三角函数应用求最值方面有很大用途但学生往往对的取值感到困惑实际上，是由确定的，不只是中的一个确定但如果已经知道了的取值范围，也有可能由三个三角函数值中的任何一个确定例3 已知椭圆上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点的连线分别与轴交于P，Q两点，O为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|为定值分析：若求证|OP|OQ|为定值，必然与P，Q两点的坐标有关，直接用普通方程显然比较麻烦，所以采用椭圆的参数方程，由此可设M点坐标（），然后代如求出P，Q点坐标，代入可证YQMXB2B1OP解：由椭圆方程为可设椭圆上任意一点M坐标为（），P（），Q（）因为P，Q分别为与轴的交点，所以，由斜率公式并计算得，所以|OP|OQ|=|=（定值）点拨：1、此题采用的是斜率相等，方程组求解的方式求得点P，Q两点的横坐标2、也可采用写出直线的方程，令解得P，Q两点的横坐标，然后代入求证的方式例4 化椭圆方程为参数方程分析：此为普通的二元二次方程，不是椭圆的标准方程，所以采用首先解出，得到，然后分析，根据三角函数的有界性引入参数，即令，所以，在将代入普通方程解得值，即可得到椭圆的参数方程解：为确定的变化范围，首先解出，得到，应有，即，于是可令，所以将代入普通方程，可解得因为参数方程和是等价的，所以其中任一个都可作为所给椭圆的参数方程点拨：1、参数的引入并不是随意的，所以要根据具体事例进行适当的选取，但要具有一定的实际意义2、教材中重点讲述的是圆锥曲线中心在原点，坐标轴为对称轴的标准方程的参数方程，此题是非标准的，所以，出此题的目的是要学生了解参数的选择方程，不做重点例题讲解3、解出结果后，因为参数方程和是等价的，所以其中任一个都可作为所给椭圆的参数方程，也就是参数方程的形式是或中的一个，也由此可知，即使选择定唯一的参数，其参数方程形式也可能不是唯一的，但结果、曲线是唯一的，是一致的yx-3-553B2B1例5 已知椭圆，求在椭圆短轴的右侧与短轴相切且在椭圆内部（包括边界）的最大圆的方程分析：最大圆方程的实质是圆的半径最大，所以实为求圆的最大半径问题，由此根据圆在椭圆短轴的右侧与短轴相切且在椭圆内部，所以可以得出椭圆上任意一点到圆心的距离大于或等于圆的半径，由此得出半径的关系式，问题得到解决解：由圆的位置及圆的对称性，可设，显然，故求最大圆，即求的最大值。设右半椭圆上的点的坐标（），则由于椭圆上的点只能在圆外或圆周上，所以有，对及恒成立，即，在内的最小值，在时有最小值 ，故所求最大圆方程点拨：（1）条件圆在椭圆短轴右侧与短轴相切且在椭圆内部，需要你注意引入参数后的取值范围，在解题过程中范围决定了半径的最值（2）圆最大，实指圆的半径最大，转化的思想要注意应用，所以，问题由求最大圆的方程问题转化成先求圆的最大半径问题（3）半径的表达式已知，要注意在或的允许取值范围内求值，并主要取到最大值时满足的条件，由此的最大值可求，最大圆方程求出例6 对于一切实数，若直线与曲线（）恒有公共点，则的取值范围是（ ）A B C D yx1-1分析：、审题正确的关键是抓住关键字词，此题中直线与曲线恒有公共点是关键所在，而它的实质含义是指直线上一定有点在曲线内、从直线知，直线恒过点，结合图形可解解：有直线知，直线恒过点，结合图形可得，当直线与曲线恒有公共点时，必满足，即，所以应选D点拨：根据方程画出正确的的图形是解题的重要环节数形结合法是一种重要的解题思想方法，它的优点直观、简单、易懂且思维简捷直线恒过定点问题也是常见问题，学生可根据直线的斜截式或点斜式得到直线恒过的定点直线和曲线有公共点，实际上是直线上有点在曲线内；也可以曲线内的点包含直线上的某点题型2、双曲线的参数方程例7 如图，设M为双曲线上任意一点，O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？分析：求平行四边形的面积，要分析需要哪些条件，现已知道哪些条件，由此有目的的去选择，解题思路即可找到AMxyO解：双曲线的渐近线方程为，不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（，），则直线MA的方程为 （1），将代入（1），解得点A的横坐标为，同理可得，点B的横坐标为B设，则，所以，平行四边形MAOB的面积为 由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关点拨：平行四边形的面积公式为：，由此可知，只要求得或表示出|OA|，|OB|的长度和的正弦值即可直接求出点A，B的坐标不容易，所以采用双曲线的参数方程，但注意正割函数的引入要做解释，特别是掌握渐近线的斜率为，与渐近线平行的直线的斜率是，写出直线方程，求得点A，B坐标 例8 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角A2A1BAyxO分析：（1）实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，所以等轴双曲线的渐近线方程为，两渐近线的夹角为直角（2）此题求证：证明：设双曲线方程为，取顶点A2（），弦Ox，则弦AB对张直角，同理对也张直角点拨：掌握等轴双曲线的定义和等轴双曲线方程的设法根据题义要能化出较标准的图象证明是直角，实际是证明所在直线的斜率积为-1例9 已知双曲线，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P，求证：MOyxBA分析：证明题是学生学习较困难的部分，而不等式是更困难的部分，所以在证明前学会分析条件和结论之间的联系是解题的关键解：设A，B坐标分别为，则中点为M，于是线段AB中垂线方程为将代入上式，（A，B相异），点拨：中垂线的特点是直线过AB中点且与线段AB垂直关键点是，由此得出结论例10 yF2F1OxBA双曲线（）过右焦点的直线AB分别交右支于两点A，B设|AB|=，令一焦点为，则的周长为（ ）A B C D 分析；双曲线上的点与焦点之间的关系很容易联系到双曲线的概念：双曲线上任意一点到左右焦点的距离的差的绝对值为常数（且）解：因为A，B是双曲线右支上的两点，所以根据双曲线的定义，所以两式相加可得：，所以选C题型3、抛物线的参数方程例11 过抛物线的顶点O作互相垂直的二弦OA，OB，求O在AB上射影M的轨迹方程xyBAMO分析：注意直线垂直时的条件，斜率积为-1或向量的数量积为0，引出参数间的关系注意挖掘三点共线的条件：解：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为，（）（，且），则，因为，所以，即，所以 因为，所以，即所以，即 因为，且A，M，B三点共线，所以，化简，得将和代入得到，即，这就是点M的轨迹方程点拨：此题的重点是向量垂直，向量的数量积为0由此找到参数之间的关系三点共线得到，消去参数得到点M的轨迹方程此出用关系式得到方程，采用的方法是整体消元，方法不多见，但不可忽视，目的告诉学生在解题过程中注意分析规律，注意观察综合应用B1BFM1MA1xyAO例12 过抛物线（为参数）的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则|AB|等于（ ）A 8 B 10 C 6 D 4 分析：根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离与到准线的距离相等由此知，四边形是直角梯形，是梯形的中位线，所以，M是AB的中点解：因过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，所以根据抛物线的定义，所以因为，所以，所以所以，又根据抛物线方程为（为参数），所以抛物线普通方程为，所以，得出，所以选A点拨：注意充分发挥抛物线定义的作用，把距离关系转化为点A，B横坐标之间的关系，根据已知条件得到结论借助数形结合，分析几何图形中的特殊现象，把|AB|转化为|的关系，利用已知条件可得出所需结论例13 根据抛物线方程为（为参数），能得出的值，注意普通方程与参数方程的转化过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）条A 0 B 1 C 2 D 3 分析：如图，当只有一个公共点时，直线与抛物线相切或与对称轴平行，所以直线有两条，答案选C点拨：抛物线的普通方程为，顶点在原点，开口向右；且点M在抛物线上yxM（2，4）O（13题图）判断椭圆和双曲线与直线交点个数时，一般联立方程，方程组有两解时，有两个交点；有惟一解时，有一个交点；无解时，没有交点但抛物线例外，因为直线与对称轴平行时，直线与抛物线有一个交点所以，判断抛物线与直线的交点个数时，把直线方程与抛物线方程联立，方程组两解时有两个交点；有一解时，如直线所过的点在抛物线内，则一条直线；若点在抛物线上，则两条直线，一条是切线，另一条是平行于对称轴的直线；若在抛物线外，且直线不过抛物线的顶点时，有三条直线于抛物线有一个公共点，其中两条切线，一条与对称轴平行；当直线过抛物线外一点，且过抛物线顶点时，与抛物线有一个交点的直线有一条此题直线过点（且点在抛物线上，）所以与抛物线只有一个交点的直线有两条，所以选项为CyxAFBO例14 过抛物曲线（为参数）的焦点F作直线交抛物线于A，B，设（O为原点）的面积为S，求证：为定值分析：求面积的平方与弦长的比为定值，需要求出面积的表达式和弦长的表达式，此时再用参数方程表示未知数太多，不易表示，所以采用参数方程转化为普通方程形式，用直线方程与抛物线方程联立，一元二次方程求弦长方式即求解：抛物线的焦点为，（不妨设）过焦点的直线AB方程，代入抛物线方程得设，则又点O到直线的距离为定值点拨：解题方法不是千篇一律的，有时要参数方程化为普通方程，有时要普通方程化为参数方程，此题即要求把参数方程化为普通方程，且抛物线的开口向上，焦点在轴上弦长公式为，面积公式为 二、综合创新探究 PyxA（a，0）O例1 椭圆上一动点与定点之间的距离的最小值为1，求的值分析：根据题意，所求为两点间距离的最小值，所以为减少未知数，引入椭圆的参数方程（为参数）根据距离公式可求解：有椭圆方程为可设椭圆上动点，所以于是若，则当时，得（舍去）；若，则当时，有得，故满足要求的值为2点拨：此题是典型的求曲线上任意一点到定点的距离最小问题，一般的方法采用参数方程，目的是引以的变量只有一个，为求最值提供方面，但要注意引入的参数的范围，它对求最值有很大影响对圆锥曲线，求曲线上一点到定点的距离的最大或最小值是有规律的，可总结的举例说明：（1）求椭圆上一动点与定点之间的距离的最小值（如上解答答案为）（2）求椭圆上一动点与定点之间的距离的最小值（解：设椭圆上动点，所以 PyxA（a，0）O于是若时，即，则当时，；若时，即，则当时，有，当时，即，则当时，；若时，即，则当时，有答案为）（3）求椭圆上一动点与定点之间的距离的最小值（解：设椭圆上动点，所以 PyxA（a，0）O于是若，即，则当时，；若时，即，则当时，有，当时，即，则当时，；若，即时，则当时，有答案为）FA（，0）OyxyxF1F2AO（4）同理可求双曲线上一动点与定点之间的距离的最小值（同样的可根据的取值进行分类讨论，同样的范围变化后进行讨论）也可求抛物线上一动点与定点之间的距离的最小值（同样可根据的取值进行分类讨论，同样的范围变化后进行讨论）（5）此题也可进行定点A确定，如等，而曲线的方程发生改变，由此求得曲线上的点与动点的距离最小（或最大）；也可曲线方程确定，曲线上的点为定点，而A为对称轴上的任意一点（或平面上任意一点等）题目的变化还有很多，同学们可以掌握一题多变，一题多解的各种形式，学习数学要掌握方法和技巧，更要学会思考和研究方式例2 在双曲线上求一点P，使它到直线的距离最短，并求这个最短距离分析：例1求的是两点间距离，而此题求的是点到直线的距离的最小值，方法基本相同解：根据双曲线方程，设曲线上一点，则点到直线的距离为，于是，化简得，BAF1F2yxO是实数，当时，或，这时，或故当双曲线上的点P为或时，它到直线的距离最小，这个最小值为点拨：（1）此利用三角函数的有界性条件不满足，所以引入参数方程（但要注意引入参数后的参数范围或确定的变量的取值范围）坐标用参数表示后，点到直线的距离用参数表示（2）参数表示的距离公式求最值不易求，所以借助一元二次方程有解，判别式大于或等于零来判断取值大小，由此确定点到直线距离的最值此法比较特别，但又是不易解决的问题常用的方法，所以要特别注意（3）此题也可变式：在椭圆上求一点P，使它到直线的距离最短（或最长），并求这个最短（或最长）距离在抛物线上上求一点P，使它到直线的距离最短，并求这个最短距离（4）此题也可采用与线性规划相同的方式来求最短距离设与直线平行的直线为，由直线与双曲线相切，联立方程由此得，根据，解得所以与直线，且与双曲线相切的直线方程为，此时根据直线与直线之间的距离为，所以双曲线上的点与到直线的距离最短为例3 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线（为参数）的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离分析：先求双曲线的右顶点和右焦点，它是椭圆的右焦点和右顶点，由此判断椭圆是中心在原点，对称轴为坐标轴的标准椭圆，方程为，椭圆上的点坐标为（）根据例2的解法求最大距离解：有双曲线方程（为参数）可知，双曲线的普通方程为，所以双曲线的右焦点为左焦点为，右顶点为（4,0）即椭圆的右焦点为（4,0），右顶点为（5,0），椭圆的方程为由此设椭圆上任意一点为又双曲线的渐近线为，所以椭圆上任意一点到渐近线的距离为，所以当且仅当时取得最大值例4 点拨：（1）解此题时，采用了椭圆的普通方程转化为参数方程，双曲线的参数方程转化为普通方程（2）点到直线的距离的最值，借助三角函数的有界性来求是圆锥曲线中常见的解法BFAOyx是抛物线的以抛物线的顶点O为直角顶点的内接三角形（1）求证：直线AB过定点；（2）求面积的最小值分析：（1）若求证直线过定点，首先要写出直线的方程，一般是直线的点斜式（2）求面积的最小值，需把的面积用参数表示出来，以此求面积的最小值解：因是抛物线的以抛物线的顶点O为直角顶点的内接三角形，设，所以直线AB方程为，即又因为，所以，由此可知，所以代入可得，即不论为何值，直线AB过定点（2）设，由（1）可知直线AB过定点，不妨设，则，且时等号成立，故所求最小值为点拨：过定点问题是圆锥曲线中常见的题型，解题过程中要以常见的直线、曲线作为依托，研讨当某个变量任意变化时，方程的不变量最值的求法中，一种是不等式求值，但要注意等号成立时的条件；一种利用二次方程有解时的变化；再一种可以借助图象；还有是根据函数的性质（如有界性、单调性等）；也可利用函数求值域方式等例5 已知双曲线（为参数），（1）过点的直线与已知双曲线交于两点，求线段中点的轨迹方程；（2）过点能否作直线，使与已知双曲线交于两点与，且点B是线段的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由分析：求中点P的轨迹方程，必与两点坐标有关，所以设，中点，代入方程即可发现规律解：（1）有双曲线方程（为参数）知双曲线的普通方程为，由此可设双曲线的点，中点为，所以点的坐标适合方程，即点的直线与已知，由(1)减去(2)可得： 因为的中点为， ，代入可得：所以 （） ，所以过双曲线交于两点的直线的方程为（），整理可得：，此为点P的轨迹方程（2）假设直线存在，设，是的中点，又有点、在双曲线上，则有，（1）（2）整理得，代入（1）整理得，则不存在实数满足上述方程，与直线M与双曲线有交点相矛盾，故直线不存在点拨：此题的解法不常见，因为在整个解题过程中，点的坐标设出了未知数，但解法中明显不用求解，而是用整体代换的方式消掉变量，仅用来表示，而所满足的关系式，即为所要求的动点P的轨迹方程，此法称为“设而不求法”，有时也叫做“相关点法”需注意的是（1）所求的方程是线段中点的轨迹方程，但（2）中验证后过点的直线不存在，所以“设而不求法”求或“相关点法”得的方程并不一定都适合或存在，应该根据（2）的方法进行验证，只有经过这个步骤，所得方程才是所求的方程MBCF2AF1yxAO“设而不求”不是此题唯一的解法，可以采用设过的直线方程为的方式，联立方程，根据一元二次方程根满足的关系式，由韦达定理求得的值，由此知道，进而代入直线方程求得，得到中点P的坐标所满足的参数方程，至此，动点P的轨迹方程求出，消去参数就是我们采用“设而不求法”求得的方程这种方法求得的方程也不全存在，它也取决于求参数方程过程中，一元二次方程是否有解，即方程的判别式是否大于等于零例6 已知双曲线的动弦BC平行于虚轴，是双曲线的左、右顶点，（1）求AB和的延长线的交点M的轨迹方程；（2）若，证明：是的比例中项分析：求交点M的轨迹方程，先想到的是如何设点，代入，求出等过程，但此题的条件显然不足，所以常见方法有存在困难，理应注意会存在什么特殊方式和式子，根据规律求得结果解：（1）根据双曲线方程，可设点，则，又，AB方程为， 的方程为，两式相乘得M点的轨迹方程为此为直线的延长线的交点M的轨迹方程（2）M既在AB上，又在上，由二直线方程消去，得，而，即是的比例中项点拨：解（1）时所用方法需引起注意，它是求轨迹方程中的一种常用方法，但学生掌握起来比较困难主要原因是学生解题时想到的往往是如何表示出点，或把动点M的坐标用参数或设的其它变量表示出来，但此题要解出或表示比较困难，常想到的方法无法解决，所以采用此题的方法，这种方法叫“交轨法”，顾名思义，即利用相交的两直线方程，消掉未知数，得到的的关系式是交点坐标满足的关系式，所以表示的方程就是交点的轨迹方程在解（2）时方法也比较简洁，主要抓住交点M这一特征，利用（1）所求得的直线方程，把点坐标代入，即可发现消去后即得结果这种方式需在讲解或学生学习过程中有所交代，因为考题往往有承前启后的特征，即第（1）的结论和解法，对（2）有提示和影响，所以解（2）时要注意引用（1）的结果但有些时候学生不会解（1）时，往往感到不知所措，且又不想放弃此题，这是我们可以舍弃解答（1），而直接用第一问的结论做（2），只要分析有理，做正确，（2）的分数可以得到这种做法在高考考试指导中叫做“跳步解答”，是应考中争取分数的重要手段例7 已知圆锥曲线方程是，（1）若为参数，为常数，求圆锥曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离（2）若为参数，为常数，求圆锥曲线的普通方程并求出它的离心率分析：注意参数和常数的确定，普通方程和参数方程的转化，普通方程中焦点、准线、离心率等确定等解：（1）由圆锥曲线，（ 为参数，为常数）可知，消去参数即可得普通方程为，此曲线是以为顶点，为对称轴，开口方向向下的抛物线由知抛物线焦点为，准线为，其中由此得出的焦点为，准线为，即焦点为，准线为所以焦点到准线的距离为（2）由圆锥曲线，（为参数，为常数）可知，消去参数得到普通方程，此方程表示中心在点，对称轴与x轴，y轴平行的椭圆，其中根据，得到，所以得到离心率点拨：（1）注意审题，方程中参数和常数的区分是解题的关键，为参数曲线表示抛物线，为参数曲线表示椭圆，所以要正确选择（2）此题的普通方程都不是标准方程，在解题时可以根据标准方程和先求出其焦点坐标和准线方程，然后根据图象平移得到和的焦点坐标和准线方程根据规律可以得出，若原抛物线的焦点为，准线为，则在对称轴平行性不变的移动过程中，平移后的焦点坐标和准线方程发生变化，所以曲线顶点移动到时的抛物线的焦点为，准线为；同样的椭圆的中心移动到时，焦点和准线相应发生改变但此题注意所求并非焦点坐标和准线方程，分析发现尽管图象平移后点的坐标和直线方程发生了改变，但其中抛物线中的参数与椭圆中的的值并不随图象的移动发生变化，而我们所求的抛物线的焦点到准线的距离实际上参数的值，椭圆的离心率只于的值和比值有关，所以此题分析了不变量后，可不求焦点坐标和准线方程，只要根据方程写出的值，即可解得结果 A POyx例8 A是椭圆长轴的一个端点，若椭圆上存在一点P，使，其中O为椭圆中心，求椭圆离心率的取值范围分析：若求椭圆离心率的取值范围，只要知道的值即可解：设椭圆的方程为（），A的坐标为，P的坐标为，由题意，由知，所以，由此得，根据，所以，即即，所以，故点拨：P为椭圆上一点，且，所以，求=，根据化为的关系即可根据，由此厚积薄发总结学习规律知识要点总结注意问题1、圆锥曲线参数的选择和几何意义（圆锥曲线的参数都有几何意义）椭圆和双曲线的参数是离心角；抛物线的参数是以原点为旋转点，x轴正方向沿逆时针旋转到抛物线上任意一点与中心的连线所成的角，也可以是此角的正切的倒数，即斜率的数离心角不是以原点为旋转点，x轴正方向沿逆时针旋转到椭圆上任意一点与中心的连线所成的角，它是圆上一点与中心连线所成2、椭圆的参数方程方程为 （为参数）有时需要用椭圆的普通方程，有时用参数方程知识要点总结注意问题3、双曲线的参数方程方程为（为参数）（）1、根据需要确定用参数方程还是用普通方程2、注意的范围3、正割函数了解即可4、抛物线的参数方程方程为（为参数），或（为参数）1、（是整数）2、因参数的选择不同，参数方程形式不同，可根据需要选择3、此参数方程是顶点在原点，x轴为对称轴，开口向右的标准抛物线的参数方程5、普通方程与参数方程的互化普通方程化为参数方程时，根据选定的x或y值，代入普通方程求出y或x，由此写出参数方程；参数方程化为普通方程时，消去参数即可，但消参的方法要基本掌握1、普通方程化为参数方程时，有时是单一的关系式，有时根据需要要写出所有关系式，当一个关系式把所有取值都包含时，写出一个关系式即可；2、参数方程化为普通方程时，注意参数的取值范围和普通方程中x，y取值限制，注意转化的等价性解题方法总结1、多数情况下，根据实际情况要自主选择参数确定参数方程，以简化解题过程2、当确定曲线是圆锥曲线或已知圆锥曲线方程的普通方程时，可以根据方程形式应用圆锥曲线的参数方程，主要用来设点，以此代入后简化过程和减少未知量3、参数方程在求角、求距离、求面积、研究最值、证明题中应用较为广泛，方法也比较灵活，4、参数方程与三角函数和三角函数的性质结合比较紧密基础强化新题精练走出题海误区1、设曲线与轴交点为M、N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为（ ）A B C D 2、过点且与曲线 （为参数）有相同焦点的椭圆方程是（ ）A B C D 3、中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是（ ）A B C D 4、椭圆的两个焦点坐标是（ ）A B C D 5、如果双曲线（为参数）上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线的距离是（ ）A 10 B C D 6、下列双曲线中，与双曲线（为参数）的离心率和渐近线都相同的是（ ）A B C D 7、点到曲