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第四节 一 最值定理 二 介值定理 机动目录上页下页返回结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 一 有界性及最值定理 1 最值的概念 设f x 定义在区间I上 若存在 使得对任意 有 则称 为f x 在区间I上的最小值 大 例如 在区间 上的最大值为 最小值为 小结目录上页下页返回结束 为最小值点 大 在 0 1 上的最小值为f 1 1 无最大值 在 上的最大值为f 1 1 无最小值 在 上既无最大值 也无最小值 在 上的最大值和最小值均为c 小结目录上页下页返回结束 2 最值定理 定理2 11 即 设 则 使 最大值和最小值 闭区间上的连续函数在该区间上一定有 证明略 机动目录上页下页返回结束 或 例如 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 机动目录上页下页返回结束 注意 若函数在开区间上连续 结论不一定成立 或在闭区间内有间断 点 定理2 12 由定理2 11可知有 证 设 上有界 机动目录上页下页返回结束 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 定理2 13 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值和 最大值之间的任何值 机动目录上页下页返回结束 推论 若 至少有一点 且 使 证明略 证 例1 利用介值定理证明方程x3 3x2 x 3 0在区间 2 0 0 2 2 4 内各有一个实根 根据介值定理推论可知存在 1 2 0 2 0 2 3 2 4 设f x x3 3x2 x 3 可计算出 f 2 0 f 0 0 f 2 0 f 4 0 由于三次方程只能有三个根 在所以各区间内只存在一个实根 这表明 1 2 3为给定方程的实根 使f 1 0 f 2 0 f 3 0 机动目录上页下页返回结束 例2 证明 方程x asinx b a 0 b 0 至少有一个不超过a b的正根 证 问题归结为在 0 a b 上求方程的根的问题 而f 0 0 asin0 b b 0 f a b a b asin a b b 设f x x asinx b x 0 a b 显然f x C 0 a b 机动目录上页下页返回结束 a 1 sin a b 0 1 如果f a b 0 则 a b就是方程的根 2 如果f a b 0 机动目录上页下页返回结束 则f 0 f a b 0 由介值定理 至少存在一个 0 a b 使得f 0 综上所述 方程在 0 a
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