【数学】2010年高考数学试题分类汇编——立体几何(解答题).doc

欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 立体几何立体几何 2010 上海文数 上海文数 20 20 本大题满分 本大题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分 第分 第 2 2 小题小题 满分满分 7 7 分分 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作 4 个全等的矩 形骨架 总计耗用 9 6 米铁丝 再用S平方米塑料片制成圆柱 的侧面和下底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 S取得最大值 并求出该 最大值 结果精确到 0 01 平方米 2 若要制作一个如图放置的 底面半径为 0 3 米的灯笼 请作 出 用于灯笼的三视图 作图时 不需考虑骨架等因素 解析 1 设圆柱形灯笼的母线长为 l 则 l 1 2 2r 0 r0 所以 32 3 a f xxbxcxd 在 内无极值点 等价于 2 20fxaxbxc 在 内恒成立 由 式得295 4ba ca 又 2 2 49 1 9 bacaa 解 0 9 1 9 0 a aa 得 1 9a 即a的取值范围 1 9 20102010 北京理数 北京理数 16 本小题共 14 分 如图 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相 垂直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面BDE 求证 CF 平面BDE 求二面角A BE D的大小 证明 I 设 AC 与 BD 交与点 G 因为 EF AG 且 EF 1 AG 1 2 AC 1 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF 平面 EG 因为EG 平面 BDE AF 平面 BDE 所以 AF 平面 BDE II 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平 面 相互垂直 且 CE AC 所以 CE 平面 ABCD 如图 以 C 为原点 建立空间直角坐标系 C xyz 则 C 0 0 0 A 2 2 0 B 0 2 0 所以 22 1 22 CF 0 2 1 BE 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 2 0 1 DE 所以0 1 10CF BE 1 0 10CF DE 所以CFBE CFDE 所以CF BDE III 由 II 知 22 1 22 CF 是平面 BDE 的一个法向量 设平面 ABE 的法向量 nx y z 则0n BA 0n BE 即 2 0 0 0 0 2 1 0 x y z x y z 所以0 x 且2 zy 令1 y 则2z 所以 0 1 2 n 从而 3 cos 2 n CF n CF n CF 因为二面角ABED 为锐角 所以二面角ABED 的大小为 6 2010 四川理数 四川理数 18 本小题满分 12 分 已知正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1 点 M 是棱 AA 的中点 点 O 是对角线 BD 的中点 求证 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 求二面角 M BC B 的大小 求三棱锥 M OBC 的体积 本小题主要考查异面直线 直线与平面垂直 二面角 正方体 三棱锥体积等基础知识 并考查 空间想象能力和逻辑推理能力 考查应用向量知识解决数学问题的能力 解法一 1 连结 AC 取 AC 中点 K 则 K 为 BD 的中点 连结 OK 因为 M 是棱 AA 的中点 点 O 是 BD 的中点 所以 AM 1 2 DDOK 所以 MO AK D AB C D M O A B C 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 由 AA AK 得 MO AA 因为 AK BD AK BB 所以 AK 平面 BDD B 所以 AK BD 所以 MO BD 又因为 OM 是异面直线 AA 和 BD 都相交 故 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 2 取 BB 中点 N 连结 MN 则 MN 平面 BCC B 过点 N 作 NH BC 于 H 连结 MH 则由三垂线定理得 BC MH 从而 MHN 为二面角 M BC B 的平面角 MN 1 NH Bnsin45 122 224 在 Rt MNH 中 tan MHN 1 2 2 2 4 MN NH 故二面角 M BC B 的大小为 arctan22 3 易知 S OBC S OA D 且 OBC 和 OA D 都在平面 BCD A 内 点 O 到平面 MA D 距离 h 1 2 VM OBC VM OA D VO MA D 1 3 S MA D h 1 24 解法二 以点 D 为坐标原点 建立如图所示空间直角坐标系 D xyz 则 A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 A 1 0 1 C 0 1 1 D 0 0 1 1 因为点 M 是棱 AA 的中点 点 O 是 BD 的中点 所以 M 1 0 1 2 O 1 2 1 2 1 2 11 0 22 OM AA 0 0 1 BD 1 1 1 OM AA 0 11 22 OM BD 0 0 所以 OM AA OM BD 又因为 OM 与异面直线 AA 和 BD 都相交 故 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 4 分 2 设平面 BMC 的一个法向量为 1 n x y z BM 0 1 1 2 BC 1 0 1 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 1 1 0 0 n BM n BC 即 1 0 2 0 yz xz 取 z 2 则 x 2 y 1 从而 1 n 2 1 2 取平面 BC B 的一个法向量为 2 n 0 1 0 cos 12 12 12 11 3 9 1 n n n n nn 由图可知 二面角 M BC B 的平面角为锐角 故二面角 M BC B 的大小为 arccos 1 3 9 分 3 易知 S OBC 1 4 S BCD A 12 12 44 设平面 OBC 的一个法向量为 3 n x1 y1 z1 BD 1 1 1 BC 1 0 0 3 1 0 0 n BD n BC 即 111 1 0 0 xyz x 取 z1 1 得 y1 1 从而 3 n 0 1 1 点 M 到平面 OBC 的距离 d 3 1 2 2 4 2 BM n VM OBC 11221 334424 OBC Sd 12 分 2010 天津文数 天津文数 19 本小题满分 12 分 如图 在五面体 ABCDEF 中 四边形 ADEF 是正方形 FA 平面 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 ABCD BC AD CD 1 AD 2 2 BAD CDA 45 求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值 证明 CD 平面 ABF 求二面角 B EF A 的正切值 解析 本小题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查空间想 象能力 运算能力和推理论证能力 满分 12 分 I 解 因为四边形 ADEF 是正方形 所以 FA ED 故CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的角 因为 FA 平面 ABCD 所以 FA CD 故 ED CD 在 Rt CDE 中 CD 1 ED 2 2 CE 22 CDED 3 故 cosCED ED CE 2 2 3 所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为 2 2 3 证明 过点 B 作 BG CD 交 AD 于点 G 则45BGACDA 由 45BAD 可 得 BG AB 从而 CD AB 又 CD FA FA AB A 所以 CD 平面 ABF 解 由 及已知 可得 AG 2 即 G 为 AD 的中点 取 EF 的中点 N 连接 GN 则 GN EF 因为 BC AD 所以 BC EF 过点 N 作 NM EF 交 BC 于 M 则GNM 为二面角 B EF A 的平面角 连接 GM 可得 AD 平面 GNM 故 AD GM 从而 BC GM 由已知 可得 GM 2 2 由 NG FA FA GM 得 NG GM 在 Rt NGM 中 tan GM1 NG4 GNM 所以二面角 B EF A 的正切值为 1 4 20102010 天津理数 天津理数 19 本小题满分 12 分 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别是棱BC 1 CC 上的点 2CFABCE 1 1 2 4AB AD AA 1 求异面直线EF与 1 AD所成角的余弦值 2 证明AF 平面 1 AED 3 求二面角 1 AEDF 的正弦值 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 解析 本小题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查用空间 向量解决立体几何问题的方法 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 满分 12 分 方法一 如图所示 建立空间直角坐标系 点 A 为坐标原点 设1AB 依题意得 0 2 0 D 1 2 1 F 1 0 0 4 A 3 1 0 2 E 1 解 易得 1 0 1 2 EF 1 0 2 4 AD 于是 1 1 1 3 cos 5 EF AD EF AD EF AD 所以异面直线EF与 1 AD所成角的余弦值为 3 5 2 证明 已知 1 2 1 AF 1 3 1 4 2 EA 1 1 0 2 ED 于是AF 1 EA 0 AF ED 0 因此 1 AFEA AFED 又 1 EAEDE 所以AF 平面 1 AED 3 解 设平面EFD的法向量 ux y z 则 0 0 u EF u ED 即 1 0 2 1 0 2 yz xy 不妨令 X 1 可得 1 2 1 u 由 2 可知 AF 为平面 1 A ED的一个法向量 于是 2 cos 3 AF AF AF u u u 从而 5 sin 3 AFu 所以二面角 1 A ED F的正弦值为 5 3 方法二 1 解 设 AB 1 可得 AD 2 AA1 4 CF 1 CE 1 2 链接 B1C BC1 设 B1C 与 BC1交于点 M 易知 A1D B1C 由 1 CECF1 CBCC4 可 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 知 EF BC1 故BMC 是异面直线 EF 与 A1D 所成的角 易知 BM CM 1 1 B C 5 2 所以 222 3 cos 25 BMCMBC BMC BM CM 所以异面直线 FE 与 A1D 所成角的余弦值为 3 5 2 证明 连接 AC 设 AC 与 DE 交点 N 因为 1 2 CDEC BCAB 所以Rt DCERt CBA 从 而CDEBCA 又由于90CDECED 所以90BCACED 故 AC DE 又因为 CC1 DE 且 1 CCACC 所以 DE 平面 ACF 从而 AF DE 连接 BF 同理可证 B1C 平面 ABF 从而 AF B1C 所以 AF A1D 因为 1 DEADD 所以 AF 平面 A1ED 3 解 连接 A1N FN 由 2 可知 DE 平面 ACF 又 NF 平面 ACF A1N 平面 ACF 所以 DE NF DE A1N 故 1 ANF 为二面角 A1 ED F 的平面角 易知Rt CNERt CBA 所以 CNEC BCAC 又5AC 所以 5 5 CN 在 22 1 30 5 Rt NCFNFCFCNRt A AN 中 在中 22 11 4 30 5 NAA AAN 连接 A1C1 A1F 在 22 111111 14Rt AC FAFACC F 中 222 11 11 1 2 cos 23 ANFNAF Rt ANFANF ANFN 在中 所以 1 5 sin 3 ANF 所以二面角 A1 DE F 正弦值为 5 3 2010 广东理数 广东理数 18 本小题满分 14 分 如 图 5 ABC是半径为a的半圆 AC为直径 点 E 为 AC 的中点 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点 平面 AEC 外一 点 F 满足5FBDFa FE 6a 图 5 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 1 证明 EB FD 2 已知点 Q R 分别为线段 FE FB 上的点 使得 22 33 BQFE FRFB 求平面BED与 平面RQD所成二面角的正弦值 2 设平面BED与平面 RQD 的交线为DG 由 BQ 2 3 FE FR 2 3 FB 知 QREB 而EB 平面BDF QR平面BDF 而平面BDF 平面RQD DG QRDGEB 由 1 知 BE 平面BDF DG 平面 BDF 而DR 平面BDF BD 平面BDF DGDR DGDQ RDB 是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角 在Rt BCF 中 2222 5 2CFBFBCaaa 22 sin 55 FCa RBD BFa 2 1 cos1 sin 5 RBDRBD 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 52 2 293 5 sin 2929 3 a RDB a 故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是 2 29 29 20102010 广东文数 广东文数 18 本小题满分 14 分 如图 4 弧 AEC 是半径为a的半圆 AC 为直 径 点 E 为弧 AC 的中点 点 B 和点 C 为线 段 AD 的三等分点 平面 AEC 外一点 F 满足 FC 平面 BED FB a5 1 证明 EB FD 2 求点 B 到平面 FED 的距离 1 证明 点 E 为弧 AC 的中点 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 20102010 福建文数 福建文数 20 本小题满分 12 分 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 E H 分别是棱 A1B1 D1C1上的点 点 E 与 B1不重合 且 EH A1D1 过 EH 的平面与棱 BB1 CC1相交 交点分别为 F G I 证明 AD 平面 EFGH II 设 AB 2AA1 2a 在长方体 ABCD A1B1C1D1内随机选取一点 记 该点取自于几何体 A1ABFE D1DCGH 内的概率为 p 当点 E F 分别在 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 棱 A1B1 B1B 上运动且满足 EF a 时 求 p 的最小值 20102010 全国卷全国卷 1 1 理数 理数 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 2010 四川文数 四川文数 18 本小题满分 12 分 在正方体 ABCD A B C D 中 点 M 是棱 AA 的中点 点 O 是对角线 BD 的中点 求证 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 求二面角 M BC B 的大小 D AB C D M O A B C 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 2010 湖北文数 湖北文数 18 本小题满分 12 分 如图 在四面体 ABOC 中 OC OA OC OB AOB 120 且 OA OB OC 1 设 P 为 AC 的中点 Q 在 AB 上且 AB 3AQ 证 明 PQ OA 求二面角 O AC B 的平面角的余弦值 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 20102010 山东理数 山东理数 19 本小题满分 12 分 如图 在五棱锥 P ABCDE 中 PA 平面 ABCDE AB CD AC ED AE BC ABC 45 AB 22 BC 2AE 4 三角形 PAB 是等腰三角形 求证 平面 PCD 平面 PAC 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小 求四棱锥 P ACDE 的体积 解析 证明 因为 ABC 45 AB 22 BC 4 所以在ABC 中 由余弦定理得 222 AC 2 2 4 2 2 24cos45 8 解得AC 2 2 所以 222 AB AC 8 8 16 BC 即ABAC 又 PA 平面 ABCDE 所以 PA AB 又 PAACA 所以ABAC 平面P 又 AB CD 所以ACCD 平面P 又因为 CDCD 平面P 所以平面 PCD 平面 PAC 由 知平面 PCD 平面 PAC 所以在平面 PAC 内 过点 A 作AHC P于 H 则 AHCD 平面P 又 AB CD AB 平面CDP内 所以 AB 平行于平面CDP 所以点 A 到平 面CDP的距离等于点 B 到平面CDP的距离 过点 B 作 BO 平面CDP于点 O 则PBO 为所 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 求角 且AH BO 又容易求得AH 2 所以 1 sinPBO 2 即PBO 30 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为30 由 知ACCD 平面P 所以ACCD 又 AC ED 所以四边形 ACDE 是直角 梯形 又容易求得DE2 AC 2 2 所以四边形 ACDE 的面积为 1 22 223 2 所以四棱锥 P ACDE 的体积为 1 2 23 3 2 2 2010 湖南理数 湖南理数 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 2010 湖北理数 18 本小题满分 12 分 如图 在四面体 ABOC 中 120OCOA OCOBAOB 且1OAOBOC 设为P为AC的中点 证明 在AB上存在一点Q 使PQOA 并计算 AB AQ 的值 求二面角OACB 的平面角的余弦值 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 20102010 福建理数 福建理数 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 概率为p i 当点 C 在圆周上运动时 求p的最大值 ii 记平面 11 A ACC与平面 1 BOC所成的角为 0 90 当p取最大值时 求cos 的 值 命题意图 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 以及几何体的 体积 几何概型等基础知识 考查空间想象能力 运算求解能力 推理论证能力 考查数形结合 思想 化归与转化思想 必然与或然思想 解析 因为 1 AA 平面 ABC BC 平面 ABC 所以 1 AA BC 因为 AB 是圆 O 直径 所以BC AC 又AC 1 AAA 所以BC 平面 11 A ACC 而BC 平面 11 B BCC 所以平面 11 A ACC 平面 11 B BCC i 设圆柱的底面半径为r 则 AB 1 AA 2r 故三棱柱 111 ABC A B C的体积为 1 1 V AC BC 2r 2 AC BC r 又因为 2222 ACBC AB 4r 所以 22 AC BC AC BC 2 2 2r 当且仅当AC BC 2r时等号成立 从而 3 1 V2r 而圆柱的体积 23 V r2r 2 r 故p 3 1 3 V2r1 V2 r 当且仅当AC BC 2r 即OCAB 时等号成立 所以p的最大值是 1 ii 由 i 可知 p取最大值时 OCAB 于是以 O 为坐标原点 建立空间直角坐标系 O xyz 如图 则 C r 0 0 B 0 r 0 1 B 0 r 2r 因为BC 平面 11 A ACC 所以BC r r 0 是平面 11 A ACC的一个法向量 欢迎光临欢迎光临 中中学学数数学学信息网信息网 zxsx127 中中学学数数学学信息网信息网 系列资料 WWW ZXSX COM 版权所有 中中学学数数学学信息网信息网 设平面 1 BOC的法向量n x y z 由 1 nOC0 20 nOB rx ryrz 得 故 0 2 x yz 取1z 得平面 1 BOC的一个法向量为n 0 2 1 因为0 90 所以 210 cos cos BC 5 52 n BCr n nBCr 2010 安徽理数 18 本小题满分 12 分 如图 在多面体ABCDEF中 四边形ABCD是正方形 EF AB EFFB 2ABEF 90BFC BFFC H为BC的中点 A B C D E F H 求证 FH