多元函数的微分.doc

实验一 多元函数的微分实验的目的1、通过实验了解掌握多元函数的偏导数与全微分的理论；2、学习掌握利用Matlab求多元函数的偏导数与全微分的方法。实验的基本理论与方法1、偏导数的概念及其求法（略）。2、全微分：如果函数的偏导数与在点(x, y) 连续，则函数在该点可微，并且 3-1）3、多元复合函数的求导法则如果函数及都在点t可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点t可导，且其导数可用下列公式计算 3-2) 4、隐函数求导公式设函数F(x , y)在点P (x0 , y0) 的某一领域内具有连续的偏导数，且F (x0 , y0) =0，Fy (x0 , y0) 0，则方程F(x , y)=0在点(x0 , y0) 的某一领域内恒有能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f (x) ,它满足条件y0=f (x0)，并有 3-3)同理，函数F(x , y, z)在点P (x0 , y0, z0) 的某一领域内具有连续的偏导数，且F (x0 , y0, z0) =0，Fz (x0 , y0, z0) 0，则方程F(x , y, z)=0在点(x0 , y0, z0) 的某一领域内恒有能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z=f (x, y) ,它满足条件z0=f (x0, y0)，并有 3-4) 5、多元函数的Jacobi矩阵假设有n个自变量的m个函数定义为 3-5) 则相应对求偏导，则得矩阵 3-6)该矩阵又称为Jacobi矩阵。6、方向导数的求法设函数在点P(x, y) 连续可微，那么函数在该点沿任意方向的方向导数存在，且 3-7)7、设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则称向量为函数在点P(x, y)的梯度，记作grad f (x , y)。实验使用的函数与命令1、符号求导指令diff多元函数的偏导数与全微分可以通过Matlab中的diff( )指令直接求解，现以二元函数为例，现要求出，则可以用下面的函数求出f=diff(diff(f, x, m), y, n) 或 f=diff(diff(f, y, n), x, m)实际上，当m, n取不同值时，该指令可以完成以下功能：表3.1 diff部分功能表指令功能指令功能diff(, x)与diff(, y)与diff(,x, m)与diff(,y, n)与求隐函数偏导数与diff(diff(), x, y)与diff(diff(),y, x)与指 令功 能diff(, x)*dx+ diff(, y)*dy求全微分collect(simple(, x)整理表达式2、多元函数的Jacobi矩阵Jacobi矩阵可以由Matlab的符号工具箱中jacobian( )函数直接求得。该函数的调用格式为 ，其中x为自变量构成的向量，y为各个函数构成的向量。3、符号转换指令syms。实验指导例1 已知二元函数 1）求一阶偏导数与和全微分；2）求高阶偏导数，与；3) 求f在x=，y=处的一阶导数、全微分和高阶偏导数，。解：1）利用表3-1中的命令，不难得到Matlab的M文件程序，从而得到一阶偏导数、高阶偏导数，与：syms x y dx dy f dff=sin(x*y)+(cos(x3+y2)2;fx=diff(f,x) %求f xfy=diff(f,y) %求f ydf=fx*dx+fy*dy %求全微分f2x2=diff(fx,x) %求f xxf2xy=diff(fx,y) %求f xyf3xyx=diff(f2xy,x) %求f xyx运行程序，输出结果：fx = cos(x*y)*y-6*cos(x3+y2)*sin(x3+y2)*x2 fy = cos(x*y)*x-4*cos(x3+y2)*sin(x3+y2)*y df = (cos(x*y)*y-6*cos(x3+y2)*sin(x3+y2)*x2)*dx+(cos(x*y)*x-4*cos(x3+y2)*sin(x3+y2)*y)*dy f2x2 = -sin(x*y)*y2+18*sin(x3+y2)2*x4-18*cos(x3+y2)2*x4-12*cos(x3+y2)*sin(x3+y2)*x f2xy = -sin(x*y)*x*y+cos(x*y)+12*sin(x3+y2)2*y*x2-12*cos(x3+y2)2*y*x2 f3xyx = -cos(x*y)*y2*x-2*sin(x*y)*y+144*sin(x3+y2)*y*x4*cos(x3+y2)+24*sin(x3+y2)2*y*x-24*cos(x3+y2)2*y*x 对于表达式的结果比较冗长，读者可以自己输入collect和simple命令对表达式进行整理。如输入命令：collect(simple(f2x2),cos(x*y)，collect(simple(f2xy),cos(x*y)，collect(simple(f3xyx),cos(x*y)或collect(simple(f2x2), cos(x3+y2)，collect(simple(f3xyx), cos(x3+y2)。然后对比上面的结果，观察新结果是否简便。2）输入计算f在x=，y=处的一阶导数、全微分和高阶偏导数，的Matlab的M文件程序：利用1）中的结果，Matlab的M文件程序如下：syms dx dy dfx=pi/3;y=pi/4;fx=cos(x*y)*y-6*cos(x3+y2)*sin(x3+y2)*x2fy =cos(x*y)*x-4*cos(x3+y2)*sin(x3+y2)*ydf =(cos(x*y)*y-6*cos(x3+y2)*sin(x3+y2)*x2)*dx+(cos(x*y)*x-4*cos(x3+y2)*sin(x3+y2)*y)*dy f2x2 =-sin(x*y)*y2+18*sin(x3+y2)2*x4-18*cos(x3+y2)2*x4-12*cos(x3+y2)*sin(x3+y2)*xf2xy =-sin(x*y)*x*y+cos(x*y)+12*sin(x3+y2)2*y*x2-12*cos(x3+y2)2*y*x2f3xyx =-cos(x*y)*y2*x-2*sin(x*y)*y+144*sin(x3+y2)*y*x4*cos(x3+y2)+24*sin(x3+y2)2*y*x-24*cos(x3+y2)2*y*x运行程序，输出结果：fx = 1.7817fy = 1.3081df = 8024175589689765/4503599627370496*dx+5891088962688053/4503599627370496*dyf2x2 = 21.9605f2xy = 9.6415f3xyx = -9.1085例2 已知隐函数，求，。解，根据表3-1中的命令，可以立即得到所求偏导数，。M文件：syms x y z;f=x2+y2+z2-4*z;fx=diff(f,x);fz=diff(f,z);fy=diff(f,y);zx=collect(-simple(fx/fz);z2xx=collect(-diff(zx,x)-diff(zx,z)*zx)运行程序，输出结果：zx = -x/(z-2) z2xx = 1/(z-2)+1/(z-2)3*x2例3 已知，试求其Jacobi矩阵和Jacobi行列式。解：求其Jacobi矩阵，建立Matlab的M文件程序：syms u v;% x=exp(u)*cos(v);y=exp(u)*sin(v);x=exp(u)*cos(v);y=exp(u)*sin(v);J=jacobian(x,y,u,v)输出结果J = exp(u)*cos(v), -exp(u)*sin(v) exp(u)*sin(v), exp(u)*cos(v)求Jacobi行列式，建立Matlab的M文件程序：u=2;v=pi/3;J =exp(u)*cos(v),-exp(u)*sin(v);exp(u)*sin(v),exp(u)*cos(v);det(J)输出结果ans = 54.5982例4 设，求在点（0,0,0）处从点（0,0,0）到点（1,1,1）的方向的方向导数，以及gradf (0,0,0), gradf (1,1,1)。解：首先求解f梯度表达式gradf，并直接求解f方向导数fxdsf，建立Matlab的M文件程序：syms x y z i j k; T=x y z;f=x2+2*y2+3*z2+x*y+3*x-2*y-6*z;J=jacobian(f,T);d=i j k;gradf=J*dV=1 1 1-0 0 0;fxdsf=J*V输出结果gradf =(2*x+y+3)*conj(i)+(4*y+x-2)*conj(j)+(6*z-6)*conj(k)fxdsf = 3*x+5*y-5+6*z其中fxdsf为方向导数，gradf为f梯度表达式。在命令窗口分别输入语句即可得gradf (0,0,0), gradf (1,1,1)的结果： x=0;y=0;z=0;gradf =(2*x+y+3)*conj(i)+(4*y+x-2)*conj(j)+(6*z-6)*conj(k) gradf =3*conj(i)-2*conj(j)-6*conj(k) x=1;y=1;z=1;gradf =(2*x+y+3)*conj(i)+(4*y+x-2)*conj(j)+(6*z-6)*conj(k) gradf = 6*conj(i)+3*conj(j)实验内容与练习1、计算下列各题1），求与；2），求、与；3），求、； 4），。5），(1) 求z的一阶偏导数和全微分；（2）求高阶偏导，；(3) 求(2)的高阶偏导