处理直线与圆锥曲线位置关系的两大思想方法.doc

处理直线与圆锥曲线位置关系的两大思想方法650212 云南省昆明光华学校高中部 廖道忠一、解方程组 在解题中，将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去一个变量后可得到一个二次方程，控制、讨论这个方程的根，并结合韦达定理，可以解决如下问题：（1）判断直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离）；（2）交点问题（公共点的个数，与交点坐标相关的等式或不等式）；（3）计算弦长(弦长公式为或，其中为弦所在直线的斜率) 例1 直线与双曲线的右支交于不同的两点、.（I）求实数的取值范围；（II）是否存在实数，使得以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（I）由方程组消去得.设由题意，直线与双曲线的右支交于不同两点， （II）假设存在实数，使得以线段为直径的圆恰好过，则，即，整理得.将及，代入并化简可得.解得或（舍去）. 故存在满足题意.例2 设经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于不同的两点、，为坐标原点.（I）若，求的值；（II）当的面积最大时，求的值.解：（I）直线的方程为，由得.由题意，.设则有，.由可得，.由联解可得，且满足.故的值为.AQyxBO（II）结合图形可知的面积.易知当时，取得最大值,此时的值为. （注：求的表达式时，题解中用的是图形的割补思想,若用点到直线的距离及弦长来处理,可得到同样的结果.）二、点差法将圆锥曲线上的两点、的坐标代入圆锥曲线的方程,然后将两式作差并进行变形,可得到弦的斜率与弦中点的坐标之间的关系式.此关系式可用于解决如下问题：（1）以定点为中点的弦的方程；（2）平行弦中点的轨迹；（3）过定点的弦的中点的轨迹；（4）对称问题.例3 已知椭圆.(I)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(II)过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程；(III)求过点且被点平分的弦所在直线的方程.解：设弦的两端点为，中点为，则有.由，两式作差得：,.即. （I）设弦中点为，由式，.故所求的轨迹方程为（在已知椭圆的内部）. （II）不妨设交椭圆于、，弦中点为.由式，又，.整理得 此即所求的轨迹方程. （III）由式，弦所在的直线的斜率，故其方程为，即. 例4 如果抛物线 上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围. 解: 设两相异对称点为，线段的中点为.由 ，作差得, ,即.由直线与直线垂直,得, .又在上 , .故点的坐标为.应在抛物线的内部，以原点为参考点，结合图形可知：当时，条件为，代入解得；当时，条件为，代入解得. 综上所述: 的范围为.（注：此题也可用解方程组的思想解决）总结评述：（1）“解方程组”与“点差法”都体现了“设而不求，整体代换”的解题思想与重要技巧.（2）“解方程组”是处理直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法，它也可用来解决“中点与对称”问题,但运算较繁,“点差法”则显得简捷、灵活.（3）在控制直线与圆锥曲线相交时，“点差法”用的条件是“中点在曲线内部”，“解方程组”用的条件“”.(650212 云南省昆明光华学校高中部 廖道忠 电子邮箱:)附 例4另解： 设两相异对称