高三数学平面向量的数量积及平面向量的应用.ppt

第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用 基础知识梳理 非零 2 范围向量夹角 的范围是 a与b同向时 夹角 a与b反向时 夹角 3 向量垂直如果向量a与b的夹角是 则a与b垂直 记作 基础知识梳理 0 180 0 180 90 a b 思考 提示 不正确 求两向量的夹角时 两向量起点应相同 向量a与b的夹角为 ABC 基础知识梳理 2 平面向量的数量积已知两个非零向量a b a x1 y1 b x2 y2 基础知识梳理 基础知识梳理 a b cos 0 x1x2 y1y2 a b a b a c b c a cos b cos b在a方向上的投影 b cos 的 乘积 3 与平面向量的数量积有关的结论已知两个非零向量a b a x1 y1 b x2 y2 基础知识梳理 基础知识梳理 2 如何利用向量的数量积证明a b 思考 提示 若a b a b 或a b a b 则a b 基础知识梳理 思考 4 向量方法解决几何问题的步骤 1 建立几何与的联系 用表示问题中涉及的几何元素 将几何问题转化为问题 2 通过向量的运算 研究几何元素之间的关系 如夹角 距离 垂直 平行等问题 3 把运算结果 翻译 成几何关系 基础知识梳理 向量 向量 向量 1 2009年高考重庆卷改编 已知 a 1 b 6 a 2b b a 68 则向量a与b的夹角是 答案 C 三基能力强化 2 已知a 1 3 b 4 6 c 2 3 则a b c 等于 A 26 78 B 28 42 C 52D 78答案 A 三基能力强化 3 已知a 2 1 b 3 x 若 2a b b 则x的值是 A 3B 1C 1或3D 3或1答案 C 三基能力强化 4 教材习题改编 若 a 2 b 5 a b 3 则 2a b 三基能力强化 答案 1 三基能力强化 1 数量积的运算要注意a 0时 a b 0 但a b 0时不能得到a 0或b 0 因为a b时 也有a b 0 2 若a b c是实数 则ab ac b c a 0 但对于向量 就没有这样的性质 即若向量a b c满足a b a c a 0 则不一定有b c 即等式两边不能同时约去一个向量 但可以同时乘以一个向量 课堂互动讲练 课堂互动讲练 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a与b的夹角 2 求 a b 思路点拨 课堂互动讲练 平面向量数量积的定义 夹角公式 求模公式 课堂互动讲练 名师点评 正确地进行数量积的运算 避免错用公式 如a2 a 2是正确的 而a b a b 和 a b a b 都是错误的 课堂互动讲练 课堂互动讲练 互动探究 课堂互动讲练 课堂互动讲练 注意 1 x1y2 x2y1 0与x1x2 y1y2 0不同 前者是两向量a x1 y1 b x2 y2 共线的充要条件 后者是它们垂直的充要条件 课堂互动讲练 课堂互动讲练 2009年高考江苏卷 设向量a 4cos sin b sin 4cos c cos 4sin 1 若a与b 2c垂直 求tan 的值 2 求 b c 的最大值 3 若tan tan 16 求证 a b 思路点拨 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 规律小结 向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算 由于有关长度 角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决 因此我们可以利用向量的直角坐标求出向量的长度 平面内两点间的距离 两个向量的夹角 判断两向量是否垂直 课堂互动讲练 1 平面几何经常涉及距离 线段长度 夹角问题 而平面向量的运算 特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角 因此可以用向量方法解决部分几何问题 2 物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解 合成与向量的加减法相似 故可以用向量的知识来解决某些物理问题 课堂互动讲练 课堂互动讲练 如图 ABCD中 点E F分别是AD DC边的中点 BE BF分别与AC交于R T两点 你能发现AR RT TC之间有何关系吗 思路点拨 第一步 建立平面几何与向量的关系 用向量表示问题的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 第二步 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 第三步 把运算结果 翻译 成几何关系 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 规律小结 用向量法解决几何问题时 先用向量表示相应的点 线段 夹角等几何元素 然后通过向量的运算研究点 线段等元素之间的关系 最后把运算结果 翻译 成几何关系 得到几何问题的结论 这就是向量法解决平面几何问题的 三部曲 课堂互动讲练 向量与三角函数结合是高考命题的一个热点 在处理这类问题时 除注意三角公式的合理应用外 要特别注意有关向量的数量积 向量的夹角 向量模的公式的准确使用 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 先利用向量运算求得函数f x 的解析式 再求f x 的周期和单调区间 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思维总结 本题中通过向量的坐标运算得到复合函数y loga 2sin 2x 根据复合函数 同增异减 的单调原则进行求解 在解题过程中要注意定义域的限制 即单调区间必须在g x 0的前提下进行判断 课堂互动讲练 课堂互动讲练 高考检阅 课堂互动讲练 课堂互动讲练 1 对数量积概念的理解 1 两个向量的数量积是一个数量 它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积 结果可正 可负 可为零 其符号由夹角的余弦值确定 计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角 条件是两向量的始点必须重合 否则要通过平移 使两向量符合以上条件 规律方法总结 2 两向量a b的数量积a b与代数中a b的乘积写法不同 不应该漏掉其中的 3 b在a上的投影是一个数量 它可正 可负 也可以等于0 2 对数量积运算律的理解 1 当a 0时 由a b 0不一定推出b 0 这是因为对任一个与a垂直的向量b 都有a b 0 规律方法总结 当a 0时 a b a c也不一定推出b c 因为由a b a c 得a b c 0 即a与 b c 垂直 也就是向量的数量积运算不满足消去律 2 对于实数a b c 有 a b c a