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1 第六节极限存在准则两个重要极限 一 极限存在准则 二 两个重要极限 三 小结思考题 2 一 极限存在准则 1 夹逼准则 证 3 上两式同时成立 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 4 利用夹逼准则 关键是将xn作适当缩放 得到极限容易求的数列yn与zn 且极限相等 注意 准则 和准则 称为夹逼准则 利用夹逼准则 关键是对不易求极限的f x 作适当缩放 得到极限容易求的g x 与h x 且极限相等 5 补例1 解 由夹逼准则得 抓大头 6 练习 提示 提示 提示 单调有界准则 7 提示 提示 由夹逼定理得 注 记住 x 的运算性质 当x 0时 8 2 单调有界准则 单调增加 单调减少 广义单调数列 几何解释 9 相应地 函数极限也有类似的准则 准则 10 补例2 证 舍去 递推公式 注意到 11 说明 该方法只有在证明了极限存在时 才能由递推公式 通过解方程的方法求极限 否则可能导致荒谬的结论 如 式两端取极限后得 从而得 矛盾 显有 12 二 两个重要极限 1 13 14 几何解释 注 该极限推广为更一般地情形 或 理论根据 复合函数求极限法则 该极限的特点 极限呈未定式极限 常用不等式 15 教材 例2 解 复合函数求极限法则 正弦号后面的变量与分数线对面的变量 若符合以上两个特点 则极限为1 若 成立 而 不成立 通常是 凑 不含正弦号的那一方的变量 使 成立 形式上一致 16 教材 例3 解 换元法 于是由复合函数的极限运算法则可得 17 2 定义 18 类似地 19 20 21 注 该极限推广为更一般地情形 或 理论根据 复合函数求极限法则 该极限的特点 极限呈型未定式极限 括号中 1 后的项连同符号与指数中变量的形式连同符号 互为倒数 在 成立的前提下 若 不成立 通常是 凑 指数中变量的形式 使之与括号中 1 后面的项 连同符号 互为倒数 22 例4 解 例5 解 23 例6 解 例7 解 24 三 小结 1 两个准则
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