数形结合的应用.doc

目 录1 “数形结合”思想21.1 什么是“数形结合”21.2 “数形结合”的作用22 数形结合的具体应用32.1 数形结合思想在方程和不等式方面的应用32.2 利用数形结合思想解决函数问题求函数最值、单调性、值域62.3 数形结合在解集合运算中的应用92.4 数形结合在解析几何中的应用103 结语12参考文献13致谢13数形结合思想在数学中的应用xxx数学与信息学院数学与应用数学专业2008级 指导教师：xxx摘 要：数形结合思想是通过数、形间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想。数形结合的思想方法是数学学习的重要思想方法之一。本文主要从方程不等式、函数、集合、解析几何等方面阐释运用数形结合思想解题可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的，有助于把握数学问题的本质。数形结合的解题方法具有灵活性和直观性，应用十分广泛。关键词：数形结合；思想方法；数学解题The application of number shape union thought in mathematics xxxCollege of Mathematics and Information Mathematics and Applied Mathematics, Grade 2008Instructor:xxxxAbstract: The number shape union thought through the number, shape and mutual correspondence between to study and solve problems of thought. The number shape union thought method is one important thinking method of mathematics learning. This article mainly from the equation, function, set, analytic geometry aspects using the number shape union thought solving problems can make the complex problem simple, abstract problem solving concrete so as to optimize the purpose, contribute to grasping the essence of mathematics problems The number shape union problem solving method is flexible and intuitive, is widely used.Key words: mathematical problem solving; thinking method; combination of number and shape .1 “数形结合”思想1.1 什么是“数形结合”？数形结合是贯穿中小学数学始终的数学思想方法，数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙和谐地结合在一起，充分利用这种结合寻找解题思路的一种解决数学问题的思想。数形结合的途径有三种：以形助数、以数助形、数形互助。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，而关键是代数问题与图形之间的相互转化，注意转化时的条件必须要是等价转化。最终可以使代数问题几何化，几何问题代数化。“中国的儒家传统文化和教育传统一贯重视一或整体的价值”，这种重视“一以贯之”的整体性和直觉性的思维模式是数形结合思想产生的本源。“数形结合”是中国数学教育界教与学，理论与实践的衔接点。广义上认为数形结合的最初表现形式是筹算的使用，如开方术、割圆术、阳马术、盈不足术等。目前数形结合思想方法的应用已经从数学发展到物理、生物、化学等基础理论学科的学习。数形结合思想方法的继承、传播、应用与发展主要是受数学理论界对数学方法的研究和基础教育工作者的实践活动的影响。“数形结合”这一习语从产生到发展已有三四十年的历史，首先出现于1951年我国基础数学教育界的核心刊物数学通报中，与之相类似的词句为：“把数学中两个主要对象“形”与“数”密切的联系起来，把代数与几何统一起来”。“数形结合”一词的正式出现是在中国数学界的传奇人物华罗庚先生的科普小册子谈谈与蜂房结构有关的数学问题中，与之相关的词句为：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难人微；数形结合百般好，隔家分离万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离。”该册子推出后，“数形结合”立即获得数学界的普遍认同。从此，“数形结合”在数学刊物中被广泛的流传开来。1.2 “数形结合”的作用数形结合思想方法是中学数学重要的思想方法之一，在数学解题和教学中都发挥着巨大的作用。该思想的主要内容体现在：建立适当的代数模型（如方程、不等式、或函数模型）；建立几何模型（或函数图像）解决有关方程和函数的问题；与函数有关的代数、几何综合性问题；以图像形式呈现信息的应用性等问题上。数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性。“形”属于形象思维的范畴，是人的右脑思维的产物。“数”属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物。数形结合能使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存，彼此激发，全面、协调、深入地发展人的思维能力。利用数形结合来解决数学中的有关问题，有着明显的优越性。“形”的直观与“数”的精确相辅相成，化解难点知识。给“数”的问题以直观图形的描述，提示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上认识“形”的几何属性。从而使复杂、抽象的数学问题变得直观形象，从而成为简单的数学问题。在数形结合的相关运用中一向强调的是对象性的结合，对功能性结合不够重视，即在教学理念中重视知识的传授。在功能性结合上以形助数多，即对图形的直观辅助运用得多；以数助形少，对数的解形不够熟练。因此，在解析几何的实际教学中可有目的的进行数表形操作的训练。从而达到数形结合的优化运用，培养学生各方面的能力。2 数形结合的具体应用2.1 数形结合思想在方程和不等式方面的应用一些看似纯代数问题，若直接从代数角度思考，比较麻烦，因此要通过观察、类比、分析、综合、和概括，灵活使用数形结合，用构造几何的方法解代数问题达到事半功倍的效果；在方程求解问题中，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题，达到化难为易的效果；处理不等式时，可以从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找到解题的思路。例1 已知正数满足方程，求z的值。解析 从结构上观察，后面两个式子和余弦定理近似，因此可选将其化为余弦定理因此，我们可构造几何图形来求解。解 作，AB=13，BC=12，在AB上取D使，则BD=x，AD=y，CD=z，如图4Ay60xzDBCz图4从而有得：例2 方程的实数根个数为（ ）A、3 B、5 C、7 D、9解析 直接求解该方程的根十分困难，因此，我们可以将等号两边分别看成两个函数，求实数根的个数即是求这两个函数图象的交点数。又由于两个函数均为奇函数，因此只需作的函数图象，又由于时，故只需取这部分即可，将这两个函数图象作在同一个坐标系中，如图2图2xyO故本题选D在本题中应注意：当时，因此，在内有一个交点，本题易在草图（如图3）中，忽略该点，从而错选C图3xyO例3 已知正数a,b,c,x,y,z满足条件a+x=b+y=c+z=k求证：ay+bz+czk2解析 本题直接由已知条件从代数变形难以得到所需求证的结果，但观察结果，是三个乘积之和，从而可利用正弦定理求证，故可将已知条件的参数放置三角形内，通过面积的大小可得证。证明 根据题设的特点构造几何模型：取边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取点L,M,N，使QL=x,LR=a,RM=y,MP=b,PN=z,NQ=c，如图1所示由图看出：，即有：故：QLRMPN图12.2 利用数形结合思想解决函数问题求函数最值、单调性、值域求函数的最值、单调性和值域是函数部分的重点内容，虽然借助于函数图形解函数题的方法能够被大家熟练运用，但是此类用常规的作函数图像解答的方法却难以解题，此时将仔细观察函数结构特征通过灵活的变形转化，最后函数以图形的方式得以表达为距离函数、斜率函数等类型才能达到解题的目的。此数形结合形象、直观，便于求解。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，充分体现了数形结合的特征与方法。例4 求函数的最小值。解析 通过观察已知函数的形式与结构，不难发现这是两个点间的距离之和，即可把原函数化为，原题即转化成“已知点P（x，0），求它到两定点A(0，1)，B（3，1）的距离之和的最小值”，从而结合图形，即可解决。解 原函数化为，如图5函数的最小值即为的最小值。作点关于轴的对称点点，即易知，当共线时，有最小值即yxP0A(0，-1)B(3，1)A(0，1)图5P例5 求函数的单调区间和值域。解析 本题直接用求单调区间和值域的常规方法难以入手，但经过一定变形可转化为点到直线的距离问题，故可通过数形结合的思想来解决。解 将原函数变形为其中，将理解为动点到直线的距离作出图象，如图6，不难得出动点人轨迹为单位圆的上半部分从而易得：函数在是减函数，在就增函数故易求得其值域为x2-2O-11y图6例6 已知且，试求的取值范围。解析 由题可知点在以为圆心、2为半径的圆上，将变形为，即的取值范围是过原点及此圆上的点的直线的斜率，结合图形即可求解。解 根据题意作出图形，设过圆点的直线为由点到直线的距离可得2=，解得：故的取值范围为xyOAB图72.3 数形结合在解集合运算中的应用在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了且不易出错。若与函数相结合的题目则难度较大，在掌握集合的相关知识基础之上利用函数的解题特点，有意识的将函数转化再数形结合达到解题的目的，考查学生的思维能力、函数等价转化能力。例7 设全集则（ ）A B 解析 画出韦恩图，MN2，4U无通过图形，形象直观，可知。故选B例8 若集合，集合，且，则b的取值范围为_解析 ，显然，M表示为圆心，以3为半径的圆上方的部分；而N则表示一条直线，其斜率为1，纵截距为b，要使，只需直线与半圆有公共点即可，如图8所示yxO3-3图8显然b的最小逼近值为-3，当直线与半圆相切时，此时得到最大值为，从而，b的取值范围为2.4 数形结合在解析几何中的应用解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。有时通过对题目的图形表达还需借助于平面几何知识，如三角形的相关知识共同解题。例9 已知椭圆的左右焦点分别为，是椭圆内一点，P为椭圆上的动点，求的最值。解析 本题直接求出和的值是十分困难的，因此可有效利用椭圆的性质，将转化成，此时只需去求的最值即可。作出图形，易知当共线时，有最大值和最小值。解 因为，所以所以又 易求得 故由图9可知：当P在E处时，有最小值当P在F处时，有最大值因此，的最小值为6；的最大值为8PEBF2F1OxyF图9例10 过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，求直线方程。解析 这个问题可由已知列出方程直接求解出该直线的斜率，但这样做较为复杂。我们可以利用数形结合思想解直线与圆的位置关系问题，既直观形象，又能提高准确性。解 如图10，作出圆及切线OA，A为切点，连接AB，则有，由OB=2，AB=1，可得，故所以，该直线方程为AOxyB-2图103 结语数形结合俨然已成为思考数学问题的一种模式，是数学教学内容的主线之一。在数学问题中数与形，互为工具互为研究对象，运用好数形结合思想去解题，由数思形，由形思数，可以将一些看似复杂的问题变得简单，使一些无从下手的问题迎刃而解。应当注意的是，无论在什么样的题目当中，形只是思考问题的一种方式，为解决问题提供帮助，数学问题的解答不是直观的观察，最终会落角到它的理论依据，数的解释中。因此，有必要对同一数学对象进行代数释意与几何释意的互补训练，实现“形”与“数”的相互转化。数形结合把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来可以更好地提示数学事物的本质和规律。当然，“数形结合”的思想并非通过几个例题就能快速的掌握，由于它具有很大的灵活性、创造性。因此在实际运用中应多方位、多角度的去思考、探索，选用合理、恰当的途径，以求取事半功倍的效果。要掌握其精髓，必须具有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧。因此，从教师角度来说，要弄清学生已知的内容，注意引导学生根据问题的具体情况，改变观察和理解问题的角度，揭示问题的本质联系，用“数”的准确澄清“形”的模糊，消除数的乏味感；用“形”的直观启迪“数”的计算，引发学习过程中的认同感。从而使形与数达到有利结合，方便数学问题的解决。作为学生，应当多注意对数形结合的应用，并有意识地加强对这方面的知识训练，准确、全面的对数与形进行等价转化。在熟悉掌握数形结合的思想方法中，提高其自身的数学思维水平，从而感知数形结合在数学学习中的魅力。参考文献：1张俊圻.数形结合在解题中的应用J.重庆师专学报.1994.2董丽君.谈谈“数形结合”J.湖南工业职业技术学院学报.2007.3鲁翠仙.数形结合及其应用J.临沧师范高等专科学校学报.2007.4乔家瑞.高中数学解题方法与技巧M