高等数学第1章第3节.ppt

数列极限收敛数列极限函数极限 3函数的极限 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 S 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 2 截丈问题 一尺之棰 日截其半 万世不竭 例如 二 数列的定义 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 数列是整标函数 f n 具有函数的一些性质 如单调性xn 1 xn 有界性 xn M 等 注 三 数列的极限 n 19 n 32 n 42 n 50 问题 1 当n无限增大时 xn是否无限接近于某一确定的数值 如果是 如何确定 2 无限接近 意味着什么 如何用数学语言刻划它 通过演示实验的观察 随着n的增加 1 n会越来越小 例如 我们可用两个数之间的 距离 来刻化两个数的接近程度 只要n无限增大 xn就会与1无限靠近 引入符号 和N来刻化无限靠近和无限增大 如果数列没有极限 就说数列是发散的 注 几何解释 其中 数列极限的定义未给出求极限的方法 我们可以用定义来证明极限的存在 例1 证 所以 例2 证 所以 说明 常数列的极限等于同一常数 注 用定义证明数列极限存在时 关键是从主要不等式出发 由 0 找到使主要不等式成立的N 并不在乎N是否最小 例3 证 例4 证 思考 证明 要使 只要使 从而由 得 取 当时 必有成立 思考题解答 等价 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用 适当放大 的值 从而时 仅有成立 但不是的充分条件 反而缩小为 定理1 唯一性 每个收敛的数列只有一个极限 证 由定义 故收敛数列极限唯一 1 3 2收敛数列的性质 有界性 例如 有界 无界 定理2收敛的数列必定有界 证 由定义 有界性是数列收敛的必要条件 推论无界数列必定发散 注 例5 证 由定义 区间长度为1 不可能同时位于长度为1的区间内 定理3 保号性 定理4四项基本运算 定理5 保不等性 若 使得 定理6 夹逼准则 证 上两式同时成立 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 例1 解 由夹挤定理得 定理7 单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释 例2 证 舍去 1 3 3函数极限1 自变量趋向无穷大时函数的极限 特例 通过上面演示实验可观察到 问题 如何用数学语言刻划当x无限增大 函数f x 无限接近 确定值A 1 定义 2 另两种情形 3 几何解释 例1 证 2 自变量趋向有限值时函数的极限 几何解释 注 例2 证 例3 证 例4 证 函数在点x 1处没有定义 例5 证 3 单侧极限 例如 左极限 右极限 左右极限存在但不相等 例6 证 例7 解 左右极限存在且相等 定理10 局部有界性 定理9 唯一性 定理11局部保号性 推论 定理 定理12 极限运算法则 推论1 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 定理15 复合函数极限性质 定理 设函数u x 在x0的某个 去心领域U x0 内 x a 但是则复合函数f x 当x x0时的极限也存在 且 例1 解 小结 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系得 例2 解 例3 消去零因子法 例4 解 无穷小因子分出法 小结 无穷小分出法 以分母中自变量的最高次幂除分子 分母 以分出无穷小 然后再求极限 例5 解 先变形再求极限 例6 解 1 极限的四则运算法则及其推论 2 极限求法 a 多项式与分式函数代入法求极限 b 消去零因子法求极限 c 无穷小因子分出法求极限 d 利用无穷小运算性质求极限 e 利用左右极限求分段函数极限 三 小结 函数极限的统一定义 见下表 四 小结 思考题 在某个过程中 若有极限 无极限 那么是否有极限 为什么 思考题解答 没有极限 假设有极限 有极限 由极限运算法则可知 必有极限 与已知矛盾 故假设错误 思考 思考题解答 左极限存在 右极限存在 不存在 1 三