高考数学(一轮)复习精品学案课件：第2章函数与导数—定义域与值域.ppt

学案2函数的定义域与值域 返回目录 1 定义 在函数y f x x A中 自变量x的取值范围A叫做函数的 对应的函数值的集合 f x x A 叫做函数的 2 一般地 设函数y f x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的x I 都有f x M m 2 存在x0 I 使得f x0 M m 那么 我们称M m 是函数y f x 的 最大 小 值 定义域 值域 考点分析 返回目录 考点一求函数的定义域 求下列函数的定义域 1 2 3 y lg cosx 4 已知函数f x 的定义域是 0 1 求函数g x f x a f x a 其中 a 的定义域 题型分析 返回目录 分析 求函数定义域 应使函数的解析式有意义 其主要依据是 分式函数 分母不等于零 偶次根式函数 被开方式 0 一次函数 二次函数的定义域为R x0中的底数x 0 y ax 定义域为R y logax 定义域为 x x 0 2 x 0 x 2 x2 1 0 x 1或x 1 函数的定义域为 2 2 1 1 2 2 4x 3 0 x 4x 3 1x 5x 4 0 x 函数的定义域为 解析 1 由 得 2 由 得 返回目录 25 x2 0cosx 0 5 x 5 2k x 2k k Z 函数的定义域为 返回目录 3 由 得 0 a a 1 a a 1 a a 1 a 当0a 函数g x 的定义域为 a 1 a a 1 a a 1 a 返回目录 4 由已知 得 即 返回目录 评析 1 当函数是由解析式给出时 其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合 2 当函数是由实际问题给出时 其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义 还要有实际意义 如长度 面积必须大于零 人数必须为自然数等 3 若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的 则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集 若函数定义域为空集 则函数不存在 4 对于 4 题要注意 对在同一对应法则f下的量 x x a x a 所要满足的范围是一样的 函数g x 中的自变量是x 所以求g x 的定义域应求g x 中的x的范围 返回目录 对应演练 若函数f 2x 的定义域是 1 1 求函数f log2x 的定义域 y f 2x 的定义域是 1 1 2x 2 y f x 的定义域是 由 log2x 2得 x 4 y f log2x 的定义域是 4 返回目录 考点二求函数的值域 求下列函数的值域 1 2 y x 3 y x 4 y 5 y x 分析 上述各题在求解之前 先观察其特点 选择最优解法 返回目录 解析 1 解法一 1 x2 1 0 2 1 y 1 1 即y 1 1 解法二 由y 得x2 x2 0 0 解得 1 y 1 y 1 1 2 解法一 设 t t 0 得x y t t 1 2 1 t 0 y 解法二 1 2x 0 x 定义域为 函数y x y 在上均为单调递增 y y 返回目录 返回目录 3 解法一 当x 0时 y x 2 4 当且仅当x 2时 取等号 当x 0时 4 当且仅当x 2时 取等号 综上 所求函数的值域为 4 4 解法二 先证此函数的单调性 任取x1 x2且x1 x2 f x1 f x2 x1 x2 当x1 x2 2或2 x1 x2时 f x 递增 当 2 x 0或0 x 2时 f x 递减 故当x 2时 f x 极大 f 2 4 当x 2时 f x 极小 f 2 4 所求函数的值域为 4 4 返回目录 4 解法一 利用函数的有界性 将原函数化为sinx ycosx 2y 即令cos 且sin sin x 平方得3y2 1 y 原函数的值域为 返回目录 解法二 数形结合法或图象法 原函数式可化为y 此式可以看作点 2 0 和 cosx sinx 连线的斜率 而点 cosx sinx 的轨迹方程为x2 y2 1 如图所示 在坐标系中作出圆x2 y2 1和点 2 0 返回目录 返回目录 由图可看出 当过 2 0 的直线与圆相切时 斜率分别取得最大值和最小值 由直线与圆的位置关系 可设直线方程为y k x 2 即kx y 2k 0 解得k 斜率的范围是 即函数y 的值域 返回目录 5 函数的定义域为 1 1 当x 1 1 时 f x 由f x 0 得 x 0 解得x x 舍去 f 又f 1 1 f 1 1 f x max f f x min f 1 1 值域为 1 评析 求函数值域 或最值 的常用方法 1 基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解 2 配方法对于形如 y ax2 bx c a 0 或F x a f2 x bf x c a 0 类型的函数的值域问题 均可用配方法求解 3 换元法利用代数或三角换元 将所给函数转化成易求值域的函数 形如y 的函数 令f x t 形如 y ax b a b c d均为常数 ac 0 的函数 令 t 形如含的结构的函数 可利用三角代换 令x acos 0 或令x asin 返回目录 返回目录 4 不等式法利用基本不等式 a b 2 用此法求函数值域时 要注意条件 一正 二定 三相等 如 a b 2求某些函数值域 或最值 时应满足三个条件 a 0 b 0 a b 或ab 为定值 取等号条件a b 三个条件缺一不可 5 函数的单调性法确定函数在定义域 或某个定义域的子集上 的单调性求出函数的值域 例如 f x ax a 0 b 0 当利用不等式法等号不能成立时 可考虑用函数的单调性 6 数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义 可借助几何法求函数的值域 形如 可联想两点 x1 y1 与 x2 y2 连线的斜率 7 函数的有界性法形如y 可用y表示出sinx 再根据 1 sinx 1 解关于x的不等式 可求y的值的范围 8 导数法设y f x 的导数为f x 由f x 0可求得极值点坐标 若函数定义域为 a b 则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值 返回目录 返回目录 对应演练 求下列函数的最值与值域 1 y 4 2 y 3 y 1 由3 2x x2 0得函数定义域为 1 3 又t 3 2x x2 4 x 1 2 t 0 4 0 2 从而 当x 1时 ymin 2 当x 1或x 3时 ymax 4 故值域为 2 4 2 其中 0 y 的值域是 2 2 返回目录 返回目录 3 将函数变形为y 可视为动点M x 0 与定点A 0 1 B 2 2 距离之和 连结AB 则直线AB与x轴的交点 横坐标 即为所求的最小值点 ymin AB 可求得x 时 ymin 显然无最大值 故值域为 考点三关于定义域 值域及参数问题 函数f x 1 若f x 的定义域为R 求实数a的取值范围 2 若f x 的定义域为 2 1 求实数a的值 分析 1 定义域为R 即不等式 1 a2 x2 3 1 a x 6 0恒成立 2 定义域为 2 1 即 1 a2 x2 3 1 a x 6 0的解集为 2 1 返回目录 返回目录 解析 1 若1 a2 0 即a 1 当a 1时 f x 定义域为R 符合 当a 1时 f x 定义域不为R 不合题意 若1 a2 0 则g x 1 a2 x2 3 1 a x 6为二次函数 f x 的定义域为R g x 0对x R恒成立 1 a2 0 9 1 a 2 24 1 a2 0 1 a 1 a 1 11a 5 0 综合 得a的取值范围是 a 1 返回目录 2 命题等价于不等式 1 a2 x2 3 1 a x 6 0的解集为 2 1 显然1 a2 0 1 a21x1 x2 x1 x2 a1a2 3a 2 0a2 4 解得a 2 评析 本题要注意分类讨论 要分1 a2 0和1 a2 0两种情况 分类一定要做到不重不漏 返回目录 返回目录 对应演练 已知函数f x ax 2 1 a 0 且a 1 1 求函数f x 的定义域 值域 2 若当x 1 时 f x 0恒成立 求实数a的取值范围 1 由4 ax 0 得ax 4 当a 1时 f x 的定义域为 loga4 当0 a 1时 f x 的定义域为 loga4 令t 则t 0 2 y 4 t2 2t 1 4 t 1 2 当t 0 2 时 y 4 t 1 2是减函数 函数的值域是 5 3 返回目录 返回目录 2 x 1 由 1 知a 1且loga4 1 1 a 4 当a 1时 f x axlna axlna 又a 1 lna 0 f x 0 f x 是关