《Ch22曲面积分》PPT课件.ppt

数学分析 3 中南财经政法大学信息学院 1第一型曲面积分 2第二型曲面积分 3高斯 Gauss 公式与斯托克斯 Stokes 公式 第二十二章曲面积分 1第一型曲面积分 第一型曲面积分的典型物理背景是求物质曲面的质量 由于定积分 重积分 第一型曲线积分与第一型曲面积分它们同属 黎曼积分 因此具有相同实质的性质 一 第一型曲面积分的概念 二 第一型曲面积分的计算 一 第一型曲面积分的概念 类似第一型曲线积分 当质量分布在某一曲面块S 量为极限 且密度函数在S上连续时 曲面块S的质 定义在S上的函数 对曲面S作分割T 它把S分成 定义1设S是空间中可求面积的曲面 为 上的第一型曲面积分 记作 于是 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为 二 第一型曲面积分的计算 第一型曲面积分需要化为二重积分来计算 为S上的连续函数 则 定理证明与曲线积分的定理20 1相仿 不再详述 例1计算 被 得的顶部 图22 1 因此由公式 2 求得 例2计算 下的部分 图22 2 解对于圆锥面 有 因此 用二重积分的极坐标变换 解 解法一 记 根据计算公式 2 并使用极坐标变换 可得 解法二 令 由此得到 2第二型曲面积分 第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量 与第二型曲线积分相类似 第二型曲面积分与曲面所取的方向有关 这就需要先定义 曲面的侧 一 曲面的侧 二 第二型曲面积分的概念 三 第二型曲面积分的计算 一 对坐标的曲面积分的概念与性质 1 曲面的侧 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 默比乌斯带 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面分左侧和右侧 单侧曲面的典型 我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面 单侧曲面的 一个典型例子是默比乌斯 M bius 带 它的构造方 法如下 取一矩形长纸条ABCD 如图22 4 a 将其 重合 B与D重合 如图22 4 b 所示 默比乌斯 M bius A F 1790 1868 德国 线方向与z轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧 另一侧称为下侧 当S为封闭曲面时 法线方向朝外 的一侧称为外侧 另一侧称为内侧 习惯上把上侧 作为正侧 下侧作为负侧 又把封闭曲面的外侧作为 正侧 内侧作为负侧 其方向用法向量指向表示 方向余弦 0为前侧 0为后侧 封闭曲面 0为右侧 0为左侧 0为上侧 0为下侧 外侧内侧 设 为有向曲面 侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面 其面积元 在xoy面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定 二 第二型曲面积分的概念 引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 分析 若 是面积为S的平面 则流量 法向量 流速为常向量 对一般的有向曲面 用 大化小 常代变 近似和 取极限 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 则 定义1设P Q R为定义在双侧曲面S上的函数 的细度为 若 的选取无关 则称此极限I为向量函数 负侧流向正侧的总流量即为 又如 若空间中的磁场强度为 第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质 则有 其中 2 若曲面S是由两两无公共内点的曲面 所组成 则有 三 第二型曲面积分的计算 上的连续函数 以S的上侧为正侧 这时S的法线方 类似地 当在光滑曲面 上连续时 有 侧为正侧 当在光滑曲面 上连续时 有 侧为正侧 例1计算 其中S是球面 的外侧 图22 6 解曲面S在第一 五卦限部 分的方程分别为 它们在xy平面上的投影区域都是单位圆在第一象 所围立体表面的外侧 其投影为 其投影为 其投影为 因此 例3计算 解 上面第二步计算后得到是利用了积分区 域的对称性和被积函数的奇偶性 除了这一项外 其 他各积分项全都等于零 把 的上下面分别记为 1和 2 前后面分别记为 3和 4 左右面分别记为 5和 6 解 除 3 4外 其余四片曲面在yOz面上的投影为零 因此 a2bc 类似地可得 于是所求曲面积分为 a b c abc 例5计算 所截得的在第一卦限的部分的前侧 解 解 把 分为上下两部分 例6 计算曲面积分 其中 为球面 外侧在第一和第八卦限部分 3高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系 高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系 一 高斯公式 续偏导数 则 其中S取外侧 1 式称为高斯公式 在1882年 著名数学家菲立克斯 克莱因 FelixKlein 发现了后来以他的名字命名的著名 瓶子 这是一个象球面那样封闭的 也就是说没有边 曲面 但是它却只有一个面 在图片上我们看到 克莱因瓶的确就象是一个瓶子 但是它没有瓶底 它的瓶颈被拉长 然后似乎是穿过了瓶壁 最后瓶颈和瓶底圈连在了一起 如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话 我们就会得到一个轮胎面 即环面 克莱因瓶 例1计算 其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧 解应用高斯公式 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体 积的公式 例2计算 上侧 解由于曲面不是封闭的 不能直接应用高斯公式 为了能使用高斯公式以方便计算 可补充一块平面 闭曲面 于是 而 因此 二 斯托克斯公式 先对双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下 规定 设有人站在S上指定的一侧 若沿L行走 指 定的侧总在人的左方 则人前进的方向为边界线L 的正向 若沿L行走 指定的侧总在人的右方 则人 前进的方向为边界线L的负向 这个规定也称为右 手法则 如图22 9所示 定理22 4设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连 续曲线 若函数P Q R在S 连同L 上连续 且有 一阶连续偏导数 则有斯托克斯公式如下 其中S的侧与L的方向按右手法则确定 为了便于记忆 斯托克斯公式也常写成如下形式 与各坐标面的交线 取图22 8 所示的方向 解应用斯托克斯公式推得 车胎状的环形区域则是非单连通的 与平面曲线积分相仿 空间曲线积分与路线的无关 性也有下面相应的定理 不经过V以外的点而连续收缩于属于V的一点 例 如 两同心球面所界定的区域仍是单连通的 而形如 区域V称为单连通的 如果V内任一封闭曲线皆可 注上述之单连通 又称为 按曲面单连通 其意 义是 对于V内任一封闭曲线L 均能以L为边界 绷起一个位于V中的曲面 与路线无关 i 对于内任一按段光滑的封闭曲线L有 ii 对于内任一按段光滑的封闭曲线L 曲线积分 个条件是等价的 Q R在上连续 且有一阶连续