《线性代数》第一章参考答案+详解.pdf

第一章第一章 行列式行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式利用对角线法则计算下列三阶行列式 1 381 141 102 解解 381 141 102 2 4 3 0 1 1 1 1 8 1 4 1 0 1 3 1 8 2 24 0 8 4 0 16 4 2 bac acb cba 解解 bac acb cba acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 3 222 111 cba cba 解解 222 111 cba cba bc2 ca2 ab2 ba2 ac2 cb2 a b b c c a 4 yxyx xyxy yxyx 解解 yxyx xyxy yxyx x x y y yx x y x y yx x y 3 y3 x3 3xy x y y3 3x2y 3y2x x3 y3 x3 2 x3 y3 2 按自然数从小到大为标准次序按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数求下列各排列的逆序数 1 1 2 3 4 解解 逆序数为 0 2 4 1 3 2 解解 逆序数为 4 41 43 42 32 3 3 4 2 1 解解 逆序数为 5 3 2 4 2 3 1 4 1 2 1 4 2 4 1 3 解解 逆序数为 3 2 1 4 1 4 3 5 1 3 2n 1 2 4 2n 解解 逆序数为 2 1 nn 3 2 1 个 5 2 5 4 2 个 7 2 7 4 7 6 3 个 2n 1 2 2n 1 4 2n 1 6 2n 1 2n 2 n 1 个 6 1 3 2n 1 2n 2n 2 2 解解 逆序数为 n n 1 3 2 1 个 5 2 5 4 2 个 2n 1 2 2n 1 4 2n 1 6 2n 1 2n 2 n 1 个 4 2 1 个 6 2 6 4 2 个 2n 2 2n 4 2n 6 2n 2n 2 n 1 个 3 写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子 a11a23的项的项 解解 含因子 a11a23的项的一般形式为 1 ta11a23a3ra4s 其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个 即 24 和 42 所以含因子 a11a23的项分别是 1 ta11a23a32a44 1 1a11a23a32a44 a11a23a32a44 1 ta11a23a34a42 1 2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式计算下列各行列式 1 7110 02510 2021 4214 解解 7110 02510 2021 4214 0100 142310 2021 10214 7 32 34 cc cc 4 3 4110 1122 10314 14310 221 1014 0 141717 200 109932 32 1 1 cc cc 2 2605 2321 1213 1412 解解 2141 3121 1232 5062 42 2141 3121 0 1232 2141 rr 3 efcfbf decdbd aeacab 解解 efcfbf decdbd aeacab ecb ecb ecb adf abcdefadfbce4 111 111 111 5 d c b a 100 110 011 001 解解 d c b a 100 110 011 001 12 010 110 011 001 aba rar b c d d c aab 10 11 01 1 1 12 010 11 123 cdc adaab dcc cd adab 11 1 1 1 23 abcd ab cd ad 1 6 1234 1341 1412 1123 解解 1234 1341 1412 1123 21 31 41 1234 0113 0222 0111 rr rr rr 1 1 113 1 1 222 111 21 31 122 200 122 cc cc 2 1 22 2 1 22 2 8 16 5 求解下列方程组求解下列方程组 1 111 112 121 x x x 0 解解 111 112 121 x x x 12 330 211 111 rr xx x x 110 3 211 111 xx x 21 100 3 211 121 cc xx x 2 3 3 xx 0 其解为 123 3 3 3 xxx 2 2222 3333 1111 0 xabc xabc xabc 其中 a b c互不相等 解 解 行列式为四阶范德蒙德 Vandermonde 行列式 即 2222 3333 1111 0 xabc ax bx cx ba ca cb xabc xabc 由于 a b c互不相等 方程的解为 123 xa xb xc 6 证明证明 1 111 22 22 bbaa baba a b 3 证明证明 111 22 22 bbaa baba 001 222 2222 12 13 ababa abaaba cc cc abab abaab 22 1 222 13 21 aba abab a b 3 2 yxz xzy zyx ba bzaybyaxbxaz byaxbxazbzay bxazbzaybyax 33 证明证明 axbyaybzazbx aybzazbxaxby azbxaxbyaybz xaybzazbxyaybzazbx a yazbxaxbyb zazbxaxby zaxbyaybzxaxbyaybz 22 xaybzzyzazbx ayazbxxbzxaxby zaxbyyxyaybz 33 xyzyzx ayzx bzxy zxyxyz 323 1 xyzxyz ayzxbyzx zxyzxy 33 xyz abyzx zxy 3 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2222 2222 2222 2222 dddd cccc bbbb aaaa 证明证明 2222 2222 2222 2222 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 dddd cccc bbbb aaaa c4 c3 c3 c2 c2 c1得 523212 523212 523212 523212 2 2 2 2 dddd cccc bbbb aaaa c4 c3 c3 c2得 0 2212 2212 2212 2212 2 2 2 2 dd cc bb aa 4 4444 2222 1111 dcba dcba dcba a b a c a d b c b d c d a b c d 证明证明 2222 4444 1111 abcd abcd abcd 222222222 1111 0 0 0 bacada b bac cad da bbaccadda 222 111 ba ca dabcd bbaccadda 其中 222 111 bcd bbaccadda 333222 111111 bcdbcd bcdb ac ad a 2222222 111111 0 0 cbdba bcd c cbd dbbcd cb db d dbc cba dc db cb cb db dc dcba 则 2222 4444 1111 ab ac adbc bdcdabcd abcd abcd abcd 5 32 3210 0123 100 010 001 x x a xa xa xa x aaaa 证明 证明 0 123 0123 100 10100 010 0110 001 01 x x x xxax x aaax aaaa 10 23 110 1 x x xaa aax 32 3210 a xa xa xa 6 1221 1 000 00 10 00 01 axaaaa x x x nnn xn a1xn 1 an 1x an 证明证明 用数学归纳法证明 当 n 2 时 21 2 12 2 1 axax axa x D 命题成立 假设对于 n 1 阶行列式命题成立 即 Dn 1 xn 1 a1xn 2 an 2x an 1 则 Dn按第一列展开 有 1 11 00 1 00 01 1 1 1 x x axDD n nnn xDn 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此 对于 n 阶行列式命题成立 7 设设 n 阶行列式阶行列式 D det aij 把把 D 上下翻转 或逆时针旋上下翻转 或逆时针旋 转转 90 或依副对角线翻转 或依副对角线翻转 依次得依次得 n nnn aa aa D 111 1 1 111 1 2 n nnn aa aa D 111 1 3 aa aa D n nnn 证明证明DDD nn 2 1 21 1 D3 D 证明证明 因为 D det aij 所以 n nnn n n n nnn aa aa aa aa aa D 221 1 111 1 111 1 1 1 1 1 331 1 221 111 21 n nnn n n nn aa aa aa aa DD nn nn 2 1 1 2 21 1 1 同理可证 nnn n nn aa aa D 1 1 111 2 1 2 DD nn T nn 2 1 2 1 1 1 DDDDD nn nnnnnn 1 2 1 2 1 2 2 1 3 1 1 1 1 8 计算下列各行列式计算下列各行列式 Dk为为 k 阶行列式阶行列式 1 a a Dn 1 1 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素 都是 0 解解 a a a a a Dn 0 001 0 000 00 00 00 00 10 00 按第 n 行展开 1 1 1 0 000 00 00 00 00 10 000 1 nn n a a a 1 1 2 1 nn n a a a n nn nn a a a 2 2 1 1 1 an an 2 an 2 a2 1 2 xaa axa aax Dn 解解 将第一行乘 1 分别加到其余各行 得 axxa axxa axxa aaax Dn 000 0 0 0 0 再将各列都加到第一列上 得 ax ax ax aaaanx Dn 0000 0 00 0 00 1 x n 1 a x a n 1 3 1 11 1 1 1 111 1 naaa naaa naaa D nnn nnn n 解解 根据第 7 题结果 有 nnn nnn nn n naaa naaa naaa D 1 1 1 1 11 1 111 2 1 1 此行列式为范德蒙德行列式范德蒙德行列式 11 2 1 1 1 1 1 jin nn n jaiaD 11 2 1 1 jin nn ji 11 2 1 1 2 1 1 1 jin nn nn ji 11 jin ji 4 nn nn n dc dc ba ba D 11 11 2 解解 2n D n nn nn n d dc dc ba ba a 0 00 0 11 11 11 11 0 0 1 11 11 11 11 12 c dc dc ba ba b n nn nn n n 按第 1 行展开 再按最后一行展开得递推公式 D2n andnD2n 2 bncnD2n 2 即 D2n andn bncn D2n 2 于是 n i iiiin DcbdaD 2 22 而 1111 11 11 2 cbda dc ba D 所以 n i iiiin cbdaD 1 2 5 nnn n aaa aaa aaa D 1 1 1 222 111 解解 将各行加到第一行上 再提取第一行的公因子 得 nnn nn aaa aaa aaaD 1 1 1 11 1 222 21 将行列式的第一行乘以 i a加到第i行上 ni 32 得 1 00 0 10 1 11 1 21 nn aaaD n aaa 21 1 亦可先用第一列消除后面各列 6 D det aij 其中 aij i j 解解 aij i j 0 4321 4 0123 3 1012 2 2101 1 3210 det nnnn n n n n aD ijn 0 4321 1 1111 1 1111 1 1111 1 1111 21 32 nnnn rr rr 1 5242321 0 2221 0 0221 0 0021 0 0001 12 13 nnnnn cc cc 1 n 1 n 1 2n 2 7 n n a a a D 1 11 1 11 1 11 2 1 其中 a1a2 an 0 解解 n n a a a D 1 11 1 11 1 11 2 1 nn nn aa aa aa aa a cc cc 10 000 1 000 100 0 100 0 100 00 11 33 22 1 21 32 1 1 1 1 3 1 2 1 1 21 110 000 11 000 00 110 00 011 00 001 n n n a a a a a aaa n i i n n a a a a a aaa 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 21 100 000 10 000 00 100 00 010 00 001 1 1 1 21 n ii n a aaa 亦可先用第一行消后面各行 9 设设 3351 1102 4315 2113 D D的 ji元的代数余子式记作 ij A 求 34333231 223AAAA 解解 34333231 223 3351 2231 4315 2113 AAAAD 10 用克莱姆法则解下列方程组用克莱姆法则解下列方程组 1 01123 2532 242 5 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解解 因为 142 11213 5132 4121 1111 D 142 11210 5132 4122 1115 1 D 284 11203 5122 4121 1151 2 D 426 11013 5232 4221 1511 3 D 142 0213 2132 2121 5111 4 D 所以1 1 1 D D x 2 2 2 D D x 3 3 3 D D x 1 4 4 D D x 2 15 065 065 065 165