一次函数与反比例函数组合.docVIP

将一次函数与反比例函数巧妙组合，从而形成有一定难度的综合题，是目前各类考试命题的一个热点，现举几例说明. 例1 已知一次函数y=x+m与反比例函数y=(m-1)的图像在第一象限内的交点为P(x0，3). （1）求x0的值； (2)求一次函数和反比例函数的解析式. 分析：从两个函数在第一象限内的交点为P这一关键点入手，综合运用所学知识求解. 解：(1)因为点P(x0，3)是一次函数y=x+m与反比例函数y=的交点，所以有 3=x0+m，3=. 消去m，得3-x0=3x0-1，解得x0=1. (2)在3=x0+m中，当x0=1时，m=2. 从而一次函数的表达式为y=x+2，反比例函数的解析式为y=. 例2 已知函数图像经过A(1，4)，B(2，2)两点，请你写出满足上述条件的两个不同的函数表达式，并简述解答过程，若能写出第三个，你就太棒了! 分析：本题属于开放型问题，要求我们能根据题目的特点，利用自己已有的基础知识，努力去搜寻结果.由于函数表达式的形式未确定，所以可以从直线型考虑，也可以考虑双曲线型，还可以是其他形式. 解：若经过A，B两点的函数图像是直线，设其表达式为y=kx+b(k0). 将点A(1，4)，B(2，2)代入，得k=-2，b=6. 所以一次函数的表达式为y=-2x+6. 由于A，B两点的横坐标与纵坐标的积都等于4，所以经过A，B两点的函数图像还可以是双曲线，其表达式为y=. 若能开动脑筋，还能想出其他的形式，如分段函数. y=4x (x1)2x-2(x1). 例3 如图1，一次函数y=x+m与反比例函数x=的图像在第一象限交于一点A(a，b)，ABx轴，垂足为B.已知ABO的面积为3，试求一次函数与反比例函数的解析式. 解：由S=ab=3，得ab=6. 因点A(a，b)在y=上，即m=ab=6. 一次函数解析式为y=x+6，反比例函数解析式为y=. 例4 如图2，已知一次函数y=kx+b(k0)的图像与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y=(m0)的图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D.若OA=OB=OD=1. (1)求点A、B、D三点的坐标； (2)求一次函数与反比例函数的解析式. 解：(1)因为OA=OB=OD=1， 所以A(-1，0)，B(0，1)，D(1，0). （2）因为点A，B在直线y=kx+b上， 将A(-1，0)，B(0，1)代入y=kx+b，有k=1，b=1. 所以一次函数的解析式为y=x+1. 由于CDx轴，由D(1，0)知C点的横坐标为x=1，把x=1 代入y=x+1，得y=2，所以C(1，2). 将C点坐标代入y=，得m=2，反比例函数的解析式为y=. 例5 为了预防“非典”，某校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例(如图3所示). 现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg. 请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为；药物燃烧后y关于x的函数关系式为 . （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需经过min后，学生才能回到教室. (3)若空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么? 解：(1)因为两函数都经过点(8，6)，故y=x(0x8)，y=(x8). (2)当y=1.6时，代入y=，有x=30. (3)把y=3分别代入y=x和y=，解得x=4和x=16.因为16-4=1210，即空气中的含药量有不低于3mg/m2的持续时间为12min，大于10min的有效消毒时间，所以此次消毒有效. 例6 已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1，